Cтраница 3
Это указывает на важность упомянутого типа моделей в метаматематике формализованных теорий первого порядка. [31]
Они показали неосуществимость в целом программы Гильберта ( см. Метаматематика), к-рая предусматривала полную формализацию существенной части математики и обоснование полученной формальной системы путем доказательства ее непротиворечивости финитными методами. [32]
Это утверждение справедливо даже независимо от того, что метаматематика по своему характеру является финитной. [33]
Ограниченность такого подхода была доказана в ходе развития логики и метаматематики. [34]
Это ограничение требуется для той цели, с которой Гильберт ввел метаматематику. Предложения данной математической теории могут не иметь ясного смысла, а ее умозаключения могут не иметь в себе несомненной очевидности. [35]
Трудно точно сказать, кто первым начал использовать нефинитные методы в метаматематике. Тесная связь классической логики и теории булевых алгебр известна уже довольно давно. [36]
Трудно точно сказать, кто первым начал использовать нефи-нитные методы в метаматематике. Тесная связь классической логики и теории булевых алгебр известна уже довольно давно. [37]
Мы будем считать, что все эти сокращения относятся только к изложению метаматематики. Это соответствует нашим целям, и таким путем мы сохраняем теоретически более простые основные определения, посредством которых устанавливается формальная система. Метаматематические утверждения о термах и формулах системы должны поэтому рассматриваться как относящиеся к несокращенным выражениям в буквальном смысле определений, какого бы рода стенографией мы ни пользовались при записи этих утверждений. [38]
На вопрос о том, почему АС называют именно аксиомой, отвечают следующие теоремы метаматематики. [39]
Такую модель можно рассматривать и как модель, выполняющую некоторую систему аксиом, потому что метаматематика любого дедуктивного формализма всегда может быть аксиоматизирована. [40]
Из его просмотра видно, что оно ие содержит никаких умозаключений, выходящих за рамки метаматематики с законом исключенного третьего - по крайней мере, если допустимы все его определения. [41]
Название этой книги не вполне точно, так как в ней изложены не все используемые в метаматематике математические методы, а именно опущен геделевский метод арифметизацни. Точным названием должно было бы быть следующее: Методы алгебры, теории решеток, теории множеств и топологии - в метаматематике. Арнфметизация метаматематики существенно отличается от этих методов и влечет другую проблематику. Именно поэтому мы и считаем нецелесообразным включать сюда эту тему. В итоге мы опустили ту часть метаматематики, которая естественным образом использует арифметизацию ( проблемы разрешения, существование неразрешимых предложений), и теорию рекурсивных функций, развиваемую сейчас многими математиками. [42]
Название этой книги не вполне точно, так как в ней изложены не все используемые в метаматематике математические методы, а именно опущен геделевский метод аркфметизацни. Точным названием должно было бы быть следующее: Методы алгебры, теории решеток, теории множеств и топологии в метаматематике. Арнфметизация метаматематики существенно отличается от этих методов и влечет другую проблематику. Именно поэтому мы и считаем нецелесообразным включать сюда эту тему. В итоге мы опустили ту часть метаматематики, которая естественным образом использует арифметизацию ( проблемы разрешения, существование неразрешимых предложений), и теорию рекурсивных функций, развиваемую сейчас многими математиками. [43]
Ему это доказательство кажется тавтологией: искомое утверждение доказывается с помощью аналогичного же утверждения, используемого в классической метаматематике. [44]
Тем самым Гильберт отдает предпочтение четкому разграничению: он становится строгим формалистом в математике, строгим интуиционистом в метаматематике. [45]