Cтраница 2
Изучение самой математики получило название метаматематики или, иногда, металогики, поскольку математика и логика тесно переплетены. [16]
Доказательства этих двух важных результатов метаматематики весьма схожи. Оба вытекают из автореферентных построений. Давайте сначала рассмотрим вопрос о разрешающей процедуре для теоремности ТТЧ. Если бы существовал некий способ, при помощи которого можно было бы сказать, принадлежит ли данная формула X к классу теорем или не-теорем, то, согласно Стандартной Версии Тезиса Ч - Т, должна была бы существовать некая конечная программа Флупа ( общерекурсивная функция), которая могла бы проделать то же самое, когда входными данными является Геделев номер формулы X Важно помнить, что любое свойство, которое может быть проверено при помощи конечной программы Флупа, представимо в ТТЧ. Но, как мы вскоре увидим, это было бы источником проблем, поскольку если теоремность - представимое свойство, то Геделева формула G становится так же порочна, как и парадокс Эпименида. [17]
Следуя идущей-от Гильберта традиции, метаматематику, в отличие от металогики, часто понимают в более узком смысле, чем тот, к-рый следует из очерченной выше концепции метатеории; именно к метаматематике иногда причисляют лишь вопросы с и п-таксиса предметной математической теории, выделяя семантику в качество самостоят, области исследования. [18]
Формальные системы, изучаемые в метаматематике, выбираются ( обычно) так, что они служат моделями для частей содержательной математики и логики, с которыми мы уже более или менее знакомы, и получаются из этих частей путем формализации. [19]
Эти замечания относятся к нашей метаматематике. [20]
Наиболее отчетливо определены основания математики и метаматематика, которые изучаются на математико-механи-ческих факультетах как учебные дисциплины. В рамках философии существует метатеория, которую называют метафилософией, философией философии или теорией философского знания [ Алексеев. Основными проблемами этой науки являются: предмет философии, ее мировоззренческие и методологические функции, аспекты философского знания. Имеются публикации по метахимии, метабиологии, метапсихологии и другим метанаукам. [21]
Основной причиной применения финитных методов в метаматематике является недостоверность иефцнитных методов; обоснованием последних и должны были служить финитные доказательства непротиворечивости. [22]
Оставлены без внимания также некоторые другие приложения метаматематики к математике ( результаты А. Робинсона и другихэ)) и общая теория моделей. [23]
Ну и, конечно, в царство метаматематики регулярно спускаются те, кто имеет дело с компьютерами. [24]
Оставлены без внимания также некоторые другие приложения метаматематики к математике результаты А. Робинсона и других3)) и общая теория моделей. [25]
Правда, из-за этого несколько усложняется формализация метаматематики самого формализма вычислений; однако для появляющихся при этом дополнительных рассуждений мы можем воспользоваться кое-чем из наших прежних рассмотрений. Принятие схемы перестановки избавляет нас от необходимости добавлять, когда мы пишем определяющие системы равенств для квазирекурсивных функций, к каждому равенству f t еще и равенство l f, как это, вообще говоря, следует делать при клиниев-ском определении. То, что определения Геделя и Клини описывают один и тот же класс функций, показано в упоминавшейся уже работе Клини. [26]
Это определение и проблема непротиворечивости приобретают значение вне метаматематики, при интерпретации формальной системы как формализации содержательной теории, в которой символ - i выражает отрицание. Предложения, выраженные двумя арифметическими формулами А и - iA, если А не содержит свободных переменных ( а если А содержит свободные переменные, то предложения, которые получаются при каждом конкретном выборе значений переменных), взятые вместе, образуют противоречие. То же самое справедливо для случая пропозициональных формул, если пропозициональные буквы интерпретируются любыми конкретными предложениями. Таким образом, метаматематическое доказательство непротиворечивости формальной системы дает гарантию против возникновения противоречия в соответствующей содержательной теории. [27]
В заключение упомянем о второй из важнейших теорем метаматематики, а именно о теореме, доказанной в 1936 году американским логиком Алонзо Черчем. [28]
Эти замечания, конечно, не являются частью метаматематики, но они должны способствовать усвоению метаматематических различий. Выражение, содержащее свободную переменную, представляет величину или предложение, зависящее от значения этой переменной. Выражение, содержащее связанную переменную, представляет результат операции, примененной к области изменения этой переменной. Наши связанные переменные относятся к логическим операциям квантифи-кации, но имеются примеры с операциями другого рода, обычными в математике. [29]
Это предположение было бы недопустимо в книге по метаматематике. [30]