Cтраница 2
Рассмотрим дугу кривой, заданной уравнением yf ( x), где f ( x) - непрерывно дифференцируемая функция на некотором отрезке. [16]
Очевидно, любая компактная дуга кривой топологически вложена в поверхность. Что касается всей полубесконечной кривой, то она топологически вложена тогда и только тогда, когда кривая не имеет самопредельных точек, т.е. точек, в любой окрестности которых имеются точки кривой со сколь угодно большими значениями параметра. [17]
Определим длину дуги кривой. [18]
Определение длины дуги кривой x ( t) было дано в 9.63. Мы повторим сейчас это определение и приведем вывод соответствующей формулы в применении к случаю кривой в любом нормированном пространстве. Длина дуги определяется как предел длин вписанных ломаных при неограниченном уменьшении длины каждого звена. [19]
Определим длину дуги кривой. [20]
Впишем в дугу кривой ломаную, вершины которой пусть лежат на ординатах, проходящих через эти точки деления. [21]
Заменим теперь дугу кривой PPi касательной РТ к этой кривой в точке Р и рассмотрим то приращение, которое получила бы функция, если бы точка описывала не дугу РРг, а отрезок касательной РТ. [22]
Пусть АВ есть дуга кривой, О - данная точка. Пусть угол ОАА - острый. Если мы будем соединять точку О с другими точками кривой, то угол непрерывно будет изменяться, все время увеличиваясь, и для бесконечно удаленной точки угол этот будет тс. [23]
Гладкой дугой называется дуга кривой с непрерывно вращающейся касательной. [24]
Если окружность и дуга MN кривой y f ( x) ( рис. 161), направленные выпуклостью в одну сторону, проходят через некоторую точку А, имеют общую касательную AT и кривизна окружности равна кривизне кривой в точке Л, то центр С окружности называется центром кривизны данной кривой в точке Л, радиус С А этой окружности-радиусом кривизны кривой в точке А, а сама окружность - окружностью кривизны. [25]
Полученные отрезки и дуги кривых второго порядка воспроизводятся в любой последовательности на чертежном автомате. [26]
Производная и дифференциалы дуги кривой в случае параметрического представления. [27]
Определите, из дуг кривых какого порядка состоит конструируемый обвод. [28]
Предлагаемое здесь определение дуги кривой является непосредственным обобщением параметрического представления кривых в элементарной аналитической геометрии. [29]
Картан вводит длину дуги кривой, кривые экстремальной длины и автопараллельные кривые, характеризуемые условием Ы 0, где / ( - - единичный касательный вектор. [30]