Cтраница 3
Именно о таком методе употреблявшемся и Архимедом и названном им особым или механическим, и говорится в приведенной цитате из Эфо-да. Под строгим же геометрическим доказательством Архимед понимал метод исчерпывания с применением доказательства от противного, которым впервые пользовался Евдокс Кн-идский для вывода формулы объема пирамиды. Евдоксу и принадлежит учение о пирамидах, требующее, как и учение о круглых телах, применения метода исчерпывания, содержащегося в XII книге Начал Евклида. Этим методом, в частности, доказывается пятое предложение XII книги, представляющее собой основную теорему в учении о пирамидах: трехгранные пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, равновелики. [31]
В теореме VII закон равновесия рычага распространяется на случай несоизмеримых фигур. Доказательство проводится на основании предыдущей теоремы редельным переходом с помощью метода исчерпывания. В теореме I второй книги трактата этот закон распространяется на случай криволинейных квадрируемых фигур. [32]
Во всех этих трудах Архимеда поразительная оригинальность мысли сочетается с мастерской техникой вычислений и со строгостью доказательств. Характерны для этой строгости уже упомянутая аксиома Архимеда п постоянное использование метода исчерпывания при доказательстве его интеграционных результатов. Мы видели, что фактически он находил эти результаты более эвристическим путем ( взвешивая бесконечно малые), но затем он публиковал их, соблюдая самые жесткие требования строгости. [33]
Но меньшей мере три больших математика этого периода были связаны с Академией Платона, а именно Архнт, Теэтет ( ум. Имя Евдокса связано с теорией отношений, которую Евклид дает в своей пятой книге, а также с так называемым методом исчерпывания, который позволил строго проводить вычисление площадей и объемов. Это означает, что именно Евдокс преодолел кризис в греческой математике и что его строгие формулировки помогли определить направление развития греческой аксиоматики и, в значительной мере, всей греческой математики. [34]
Пусть [ А и v - меры на какой-либо о-алгебре S, такие, что конечна и v [ А. Тогда существует измеримое множество Е, обладающее следующим свойством: X - Е есть множество о-конечной меры по отношению к v и, каково бы ни было измеримое подмножество F множества Е, v ( F) равно либо 0, либо оо. X - Е устанавливается также методом исчерпывания. [35]
Существуют, однако, несколько иные обстоятельства, также вызывающие необходимость характерной терминологии, при которой опять вводятся в употребление слова чистый и практический без надлежащего оправдания. В своем фундаментальном трактате о круге Архимед открыл, что длина окружности не только не может быть точно вычислена, но даже не может быть определена точно. Точные алгебраические методы были поэтому заменены другого рода подходом, который греки назвали методом исчерпывания; математики XIX века приняли название метода пределов. Применяя этот метод пределов, часто приводящий к разложению в бесконечный ряд, мы стремимся не получить искомую величину, а только приблизиться к ней с ошибкой, которая может быть сделана сколько угодно малой. [36]
Именно о таком методе употреблявшемся и Архимедом и названном им особым или механическим, и говорится в приведенной цитате из Эфо-да. Под строгим же геометрическим доказательством Архимед понимал метод исчерпывания с применением доказательства от противного, которым впервые пользовался Евдокс Кн-идский для вывода формулы объема пирамиды. Евдоксу и принадлежит учение о пирамидах, требующее, как и учение о круглых телах, применения метода исчерпывания, содержащегося в XII книге Начал Евклида. Этим методом, в частности, доказывается пятое предложение XII книги, представляющее собой основную теорему в учении о пирамидах: трехгранные пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, равновелики. [37]
Этот вывод позволяет нам во многих приложениях без особенных потерь заменять пространство X множеством XQ. JC где Е - измеримое в смысле Лебега подмножество интервала [ О, 1 ], а С - некоторое конечное или счетное множество; [ А пусть будет лебеговской мерой. Указанный здесь метод замены X множеством XQ конечной меры часто применяется в теории меры и носит название метода исчерпывания. [38]
ЕвдоксаКнидского, разработавшего общую теорию пропорций и Давшего первое доказательство теоремы об объеме пирамиды, удовлетворявшее возросшим требованиям к строгости математич. По поводу этого доказательства им было сформулировано общее допущение ( называемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе метода исчерпывания, представляющего собой, по существу, раннюю форму теории пределов. [39]
В частности, доказательство равновеликости, применяемое при выводе объема параллелепипеда, для пирамиды неприменимо. Для доказательства того, что пирамида есть третья часть призмы той же высоты и с тем же основанием, необходимо неявно или явно использовать операцию перехода к пределу. Вот почему формулу объема пирамиды можно строго установить либо античным методом исчерпывания, либо современным методом пределов. [40]
Первое теоретическое обобщение и обоснование методов вычисления площадей и объемов, в которых неявно использовались предельные переходы, было дано величайшим греческим математиком IV в. Метод Евдокса был назван в XVII в. В длинной эволюции, которую на протяжении почти 2500 лет претерпело понятие предела, метод исчерпывания представляет собой первый этап. [41]
Другой французский математик, член Парижской Академии наук Лазар Карно, известный также как крупный политический и военный деятель ( организатор победы) французской буржуазной революции конца XVIII в. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых, выступая как решительный защитник идей Лейбница. Для Карно бесконечно малое - это не фикция, не метафизическое, а вполне реальное понятие. Творению Лейбница Карно отдает предпочтение, однако он вовсе не отвергает метод Ньютона и старательно развивает мысль о том, что метод исчерпывания, метод неделимых и теория пределов Ньютона - все эквивалентны методу бесконечно малых Лейбница. Несмотря на то что на размышлениях Карно по поводу бесконечно малых лежит тот же отпечаток двойственности и нечеткости, который характерен почти для всех математиков XVIII в. Лейбница и Ньютона, для осуществления синтеза двух понятии: бесконечно малого и предела. [42]
В Египте выдающейся личностью был Ибн ал - Хайсам ( Алхазен, ок. Он решпл Задачу Алхазена, в которой требуется из двух точек на площади круга провести прямые так, чтобы они встретились в точке окружности и в этой точке образовали равные углы с нормалью. Эта задача приводит к уравнению четвертой степени, она была решена в греческом духе с помощью пересечения гиперболы с окружностью. Алхазен применял также метод исчерпывания для вычисления объемов тел, которые получаются при вращении параболы вокруг какого-либо ее диаметра или ординаты. За сто лет до Алхазепа в Египте жил алгебраист Абу Кампл, который продолжал труды ал - Хорезмп. Он оказал влияние не только на ал - Кархп, но и на Леонардо Пизапского. [43]
Арифметика Диофанта - это сборник задач ( их всего 189), каждая из которых снабжена решением ( или несколькими решениями, полученными разными способами) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и расположены так, что служат иллюстрацией вполне определенных общих методов. Как это было принято в античной математике, методы не формулируются общим образом, отдельно от задач, но раскрываются в процессе решения. Напомним, что даже знаменитый метод исчерпывания - первый вариант теории пределов - не был выделен в чистом виде ни его создателем Евдоксом из Книда, ни Архимедом. [44]
Возникновение новой алгебры и аналитической геометрии у Декарта осветил Ю ш к е-в и ч [6], указав на прямую связь математических открытий Декарта с обусловленными социальными потребностями эпохи общими методологическими устремлениями французского мыслителя; картезианская алгебра была при этом охарактеризована, как алгебра геометрического построения корней уравнений, в противовес алгебре Ньютона и XVIII в. Он пришел при этом к общему выводу ( тесно связанному с его концепцией античного метода исчерпывания), что нестрогость и атомистический характер ранних инфинитезимальных приемов XVII в. Кавальери и схоластиков, с одной стороны, и Кавальери и Галилея, с другой. Он отметил, что Кавальери стремился обойтись без новой алгебры и в своих трудах выдвигал на первый план чисто математические соображения относительно неделимых, воздерживаясь от прямого отождествления непрерывного не только с совокупностью мельчайших частиц, как Кеплер, но и с совокупностью непротяженных неделимых. [45]