Cтраница 4
В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора. В книге II строится геометрич. При этом величины изображаются отрезками, а произведения двух величин - площадями; алгебраич. В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд ( эти проблемы были исследованы еще Гиппократом Хиосским), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V дается общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским ( 4 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии ( книга VI) и метода исчерпывания ( книга XII), также восходящих к Евдоксу. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных ( положительных) чисел. В книге X на этой основе дается классификация квадратичных и биквадратичеых иррациональностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для определения ребер пяти правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII ( а вероятно, и VII) принадлежит Театету ( нач. В книге XI излагаются начала стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамид и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы были впервые доказаны Евдоксом. [46]
В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора. При этом величины изображаются отрезками, а произведение двух величин - площадями. В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд ( эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2 - й пол. В книге V дается общая теория отношений величин, созданная Евдоксом, Книдским ( 4 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии ( книга VI) и метода исчерпывания ( книга XII), также восходящих к Ев-доксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремн об однозначности разложения целого числа на простые множители и бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное по существу теории рациональных чисел. В книге X на этой основе дается классификация квадратичных и биквадратичных иррацио-нальностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для определения ребер пяти правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII ( а вероятно, и VII) принадлежит Теэтету ( начало 4 в. В книге XI излагаются начала стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношений объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы были впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объемов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. XIV и XV, не принадлежащие Евклиду. Содержание их не представляет большого научного интереса. [47]
Еще интереснее попытка, предпринятая в это же время Гиппием Элидским. По-видимому, впервые в истории математики он вычертил квадрирующую кривую ( квадрат-рису), к-рая одновременно разрешала и задачу квадратуры круга, и задачу трисекции угла. Это открытие имело исключительное значение: была открыта первая трансцендентная кривая. Возможно, что уже пифагорейцами 5 в. Так, им приписывают доказательство теоремы, что сумма углов треугольника равна двум прямым; решение задачи: построить параллелограмм, подобный данному параллелограмму и равновеликий данному треугольнику; открытие додекаэдра. На математике того времени отразилось влияние Платона: из математики изгоняются числовые расчеты, увязка с практич. В центре внимания становятся игравшие большую роль в мистико-религиозных теориях Платона правильные многогранники, теория пропорций и учение об иррациональных величинах. Ученик Платона Теэтет изучил правильные многогранники, придав этому учению, вероятно, тот вид, какой оно имеет в Началах Евклида. Архит Тарентский углубил учение о пропорциях и решил задачу удвоения куба стереометрич. Крупнейшим математиком этой эпохи был Евдокс Книдский. Основное его значение - в создании новой геометрич. Она по существу совпадает с определением, данным в кн. V Начал Евклида: Две величины имеют отношение между собою, если меньшую из них можно повторить столько раз, чтобы результат был равен или больше; это заменило атомистич. На основании аксиомы Архимеда строится метод исчерпывания для определения площадей и объемов, сходный с методом Антифонта ( вписываются многоугольники со все большим числом сторон), но окончательный вывод получается независимо от всяких атомистич. Так, Евдокс дал точные выводы для объемов пирамиды, конуса и щара; все эти объемы были уже найдены в 5 в. Ученик Евдокса Менехм впервые дал связное учение о конич. [48]