Cтраница 3
Напомним, что к у с о ч н о-г л а д к о и называется кривая, состоящая из нескольких гладких дуг [ см. 337; ср. [31]
Пусть Si и S2 - Две связные части плоскости, не имеющие общих внутренних точек, но примыкающие друг к другу вдоль некоторой гладкой дуги L, являющейся общей частью их границ; концы L мы не причисляем к L. [32]
СЕО - некоторая положительная постоянная, меньшая а, а Ф0о ( z) - функция, удовлетворяющая условию Н в окрестности с на любой гладкой дуге ее, проведенной из с на разрезанной вдоль L плоскости. [33]
Указанный итеративный метод и метод наименьших квадратов можно перенести на общий случай уравнения вида (6.54), когда коэффициенты этого уравнения кусочно-непрерывны и Г состоит из конечного числа непересекающихся гладких дуг. [34]
Будем предполагать, что коэффициенты А11, Л12, Л22 уравнения (1.12) нигде одновременно в нуль не обращаются, а множество точек, описываемое уравнением (1.19), представляет собой гладкую дугу Жордаиа, делящую область задания этого уравнения па две части, в одной из которых оно эллиптично, а в другой - гиперболично. При аналитичности коэффициентов А11, Л12, Л22 уравнение (1.12) является уравнением сметанного типа, если все частные производные функции Д ( х, у) до порядка 2т ( т - неотрицательное целое число) вдоль 8 равны нулю, причем в результате неособой замены независимых переменных в окрестности 8 это уравнение может быть приведено к одному из видов (1.24) или (1.25) в зависимости от того, угол а между касательной к 8 в каждой ее точке и выходящим из этой точки характеристическим направлением отличен от нуля или равен нулю. [35]
Дуга называется гладкой, если в каждой ее точке можно провести касательную, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении точки по кривой; дуга непрерывной кривой, состоящая из конечного числа гладких дуг, называется кусочно-гладкой. [36]
Мы не выиграем, по существу, в общности, если при определении понятия кусочно-голоморфной функции допустим, что она может не быть непрерывно продолжимой и на некоторое конечное число заданных точек с, расположенных на гладких дугах, составляющих Z, вблизи которых имеет место оценка ( 10 1); действительно ( ср. [37]
Мы не выиграем, по существу, в общности, если при определении понятия кусочно-голоморфной функции допустим, что она может не быть непрерывно продолжимои и на некоторое конечное число заданных точек с, расположенных на гладких дугах, составляющих L, вблизи которых имеет место оценка ( 10 1); действительно ( ср. [38]
Впоследствии результаты работ Н. И. Мусхелишвили [6] и Н. И. Мусхелишвили и Д. А. Квеселава [1] были обобщены в статье W. J. Trjitzinsky [1] ( автор был знаком лишь с первой из названных работ) и Д. А. Квеселава [7] на случай, когда L состоит из замкнутых и разомкнутых гладких дуг, которые могут пересекаться друг с другом в конечном числе точек. [39]
Впоследствии результаты работ Н. И. Мусхелишвили [6] и Н. И. Мус-хелишвили и Д. А. Квеселава [1] были обобщены в статьях W. J. Trjitzin-sky [1] ( автор был знаком лишь с первой из названных работ) и Д. А. Кве-еелава [7] на случай, когда L состоит из замкнутых и разомкнутых гладких дуг, которые могут пересекаться друг с другом в конечном числе точек. Однако результаты этих авторов ( в особенности первого, пользующегося весьма громоздкими приемами) являются менее общими и менее простыми, нем изложенные выше. [40]
Применяя к каждому из этих интегралов сказанное выше относительно поведения интеграла ( 7), легко заключаем, что оценка ( 8) имеет место в S, вблизи а, и, следовательно, в S -; для того чтобы сказанное стало очевидным, достаточно продолжить гладкие дуги, сходящиеся в а, отрезками касательных ааг и аа ( в случае точки возврата эти отрезки совпадают) и заметить, что окрестность области S, примыкающая к точке а, находится по одну и ту же сторону как по отношению к гладкой дуге Ъаа. [41]
Применяя к каждому из этих интегралов сказанное выше относительно поведения интеграла ( 7), легко заключаем, что оценка ( 8) имеет место в S, вблизи а, и, следовательно, в S -; для того чтобы сказанное стало очевидным, достаточно продолжить гладкие дуги, сходящиеся в а, отрезками касательных ааг и аа ( в случае точки возврата эти отрезки совпадают) и заметить, что окрестность области S, примыкающая к точке а, находится по одну и ту же сторону как по отношению к гладкой дуге Ъаа. [42]