Cтраница 3
Другой подход связан со сведением нелинейных краевых задач к решению последовательности линейных краевых задач. В рамках метода продолжения решения по параметру он реализуется непосредственным применением процедуры метопа к исходным уравнениям. [31]
Простейший способ обеспечения сходимости для любого Х состоит в применении формулы Xft 1 Xfe - - / гйЯ - 1Р ( Хй), где hk - параметр, выбираемый из условия минимизации нормы вектора F ( X) или уменьшения этой нормы на каждой итерации. Более надежными и эффективными являются метод продолжения решения по параметру и метод дифференцирования по параметру. [32]
Число оценок производной интегрируемой функции, необходимых при таком построении алгоритма, на единицу больше числа итераций формулы коррекции и может превышать число производных, используемых в методе Рун-ге - Кутта. В результате теряется одно из главных преимуществ методов продолжения решения. Устойчивость интегрирования с многократным использованием формулы (4.205) определяется в Основном устойчивостью коррекции, а неустойчивость прогноза мало влияет на относительную устойчивость результата. [33]
Применение уточненных уравнений дает возможность также решать задачи об устойчивости толстостенных оболочек в геометрически нелинейной постановке. Под критическими состояниями оболочки понимают точки вырождения линеаризованного оператора на траектории нагружения, которую строят методом продолжения решения по параметру. Регуляризацию некорректной задачи в окрестности особых точек обеспечивают сменой ведущего параметра. При нагружении оболочки внутренним давлением характер трансформирования ее полей перемещений и напряжений определяется в большей мере физической нелинейностью. [34]
Конкретное же их содержание затрагивалось лишь в той мере, в какой оно связано с методом продолжения решения по параметру и с особенностями его применения и реализации. [35]
Интерес к нелинейным задачам в механике подкреплен и усилен сейчас теми возможностями, которые предоставили вычислительные машины. В этих условиях актуально создание таких методов решения, которые могли бы быть применены к возможно более широкому классу задач. Один из таких классов образуют нелинейные задачи с параметром. Для них, как правило, существен вопрос об изменении решения по мере изменения параметра. Поэтому метод продолжения решения по параметру для них представляется естественным и в определенной степени универсальным инструментом исследования. В настоящей книге изложен опыт и результаты применения этого метода к близкому авторам классу нелинейных задач механики твердого деформируемого тела. [36]
Анализ статических режимов сводится к решению систем АУ. Для решения АУ применяют итерационные методы, основные характеристики которых - сходимость и скорость сходимости к точному решению. В САПР применяют в основном методы простой итерации, Ньютона и релаксационные. Методы простой итерации и релаксационные имеют линейную скорость сходимости и требуют небольших вычислительных затрат на одну итерацию. Эти методы применяются в основном для решения систем АУ большой размерности. Метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости, но в общем случае сходится только в окрестности точного решения. Для расширения области сходимости метода Ньютона применяются метод продолжения решения по параметру и метод дифференцирования по параметру. Метод Ньютона и его модификации сводятся к решению систем ЛАУ на каждой итерации. Для решения систем ЛАУ наиболее широко применяют метод Гаусса и LU-разложения. Для систем ЛАУ большой размерности эти методы эффективны только при учете разреженности матриц коэффициентов. [37]