Cтраница 3
Га-леркина ( 1871 - 1945 гг.) относятся главным образом к расчету пластин и оболочек. Разработанный им метод решения дифференциальных уравнений широко используется в прикладной теории упругости. [31]
Четко сформулированы ее исходные предположения, выведены основные соотношения и дифференциальные уравнения. Разработан ряд методов решения дифференциальных уравнений термоупругости, получены основные энергетические и вариационные теоремы. [32]
Установление адекватности математической модели реальному объекту осуществляется путем непосредственного сравнения ( в смысле принятого критерия) выходных величин этого объекта с выходными величинами модели. Если модель объекта управления представляется системой дифференциальных уравнений, то указанное сопоставление выходных величин, естественно, требует предварительного решения дифференциальных уравнений при определенных начальных и граничных условиях, аналогичных условиям протекания реального процесса в аппарате. В связи с этим унификация математических моделей приводит соответственно и к унификации методов решения дифференциальных уравнений, которыми описываются процессы в аппаратах. Поэтому стремление к унификации моделей и методов их математического исследования оправдано, если при этом ставится задача совмещения модели с реальным объектом, например варьированием входящими в математическую модель коэффициентами. [33]
Решение дифференциального уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами связано с большими трудностями. В этой связи первостепенной задачей, стоящей перед аналитической теорией теплопроводности, является разработка методов решения дифференциального уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. [34]
Принципиально формула ( 12 - 12) может быть использована при интегрировании любого дифференциального уравнения с произвольной наперед заданной точностью, от которой будет зависеть число членов ряда. Однако с увеличением числа членов ряда увеличивается количество подлежащих определению производных, а следовательно, и объем вычислений. Вычисление производных с практической точки зрения весьма трудоемко, поэтому формулы разложения решения в ряд как метод решения дифференциальных уравнений не получили широкого распространения. Обычно вместо разложения используются методы, опирающиеся на разложение в ряд Тейлора, но позволяющие получать решение без вычисления производных. Метод же отыскания решения с помощью рядов Тейлора главным образом используется как способ оценки точности других формул интегрирования. [35]
В технических приложениях часто решается обратная задача - путем определения проекций на базисные оси находится искомый вектор. Аналогичная картина имеет место при исследовании граничных задач математической физики, когда искомое решение рассматривается как элемент функционального пространства. На этой основе идеи классических методов решения задач статики или задач динамического равновесия, известные в механике, нашли дальнейшие обобщения при разработке методов решения дифференциальных уравнений математической физики, в том числе уравнений теплопроводности. К числу таких методов относится метод ортогональной проекции или метод Бубнова - Галеркина. Изложим этот метод применительно к решению следующей граничной задачи. [36]
В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [37]
В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых4 функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [38]
В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [39]
Основные трудности при практической реализации машинных методов заключаются в больших значениях Гм, особенно при решении задач проектирования нелинейных электронных схем. Действительно, известно большое количество методов решения систем уравнений ( 1.8 а) и методов поиска экстремума, реализованных в подпрограммах общего математического обеспечения ЦВМ. Многие из этих методов принципиально могут дать решение задачи анализа или оптимизации электронной схемы, но, как правило, с неприемлемо большими затратами машинного времени. Оценки Тм, выполненные для случая использования некоторых популярных в вычислительной практике методов решения дифференциальных уравнений и методов оптимизации, дают значения в несколько сотен, тысяч и миллионов часов машинного времени для решения задачи расчета оптимальных значений параметров пассивных компонентов. Отсюда ясно, что основным требованием к методам и алгоритмам машинного проектирования электронных схем является требование минимизации затрат машинного времени при приемлемой степени универсальности и точности решения. В настоящее время разработаны методы и алгоритмы, ориентированные на машинное решение схемотехнических задач, приводящие к меньшим затратам времени на проектирование большинства схем, чем при использовании экспериментальных методов. [40]
Чтобы вычислить третью производную в конечно-разностном виде, необходимо иметь значения второй производной по меньшей мере в двух точках. Очевидно, чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительных вычислений потребуется внутри интервала. Метод Рунге - Кутта дает набор формул для расчета координат внутренних точек, требуемых для реализации этой идеи. Так как существует несколько способов расположения внутренних точек и выбора относительных весов для найденных производных, то метод Рунге - Кутта в сущности объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. [41]