Cтраница 3
Рассмотрим точные решения ряда динамических задач упругости для плоского слоя с жесткими лицевыми поверхностями: кручение, сдвиг, растяжение-сжатие и изгиб. Для решения этих задач применим метод однородных решений уравнений упругости. Результаты сопоставим с приближенными решениями по теории слоя. [31]
Основное содержание настоящей книги посвящено построению и анализу решений Сен-Венана для естественно закрученного стержня, винтовой пружины, части кругового кольца и цилиндрического стержня с винтовой анизотропией. Все эти тела объединены термином псевдоцилиндры. Для достижения основной цели широко используется метод однородных решений, спектральная теория операторов, асимптотические методы. [32]
В работах [154, 155] строятся приближенные решения задачи на основе метода однородных решений. Удовлетворение граничным условиям на цилиндрической поверхности проводится способом коллокации в нескольких отдельных точках. Другие работы, связанные с развитием метода однородных решений, упомянуты в предыдущей главе при описании сути этого метода. [33]
Здесь значок штрих означает дифференцирование по хг. Приведенные выше соотношения (4.71) - (4.80) позволяют точно удовлетворить условиям нагружения боковых поверхностей трубы. Нетрудно видеть, что после удовлетворения условиям на боковых поверхностях не остается произвольных постоянных для выполнения условий на торце. Однако эти постоянные можно получить, если воспользоваться методом однородных решений. [34]
В § 3.1 в декартовой системе координат рассмотрены контактные задачи Q, Q и 3з для прямоугольника о вертикальном воздействии штампа без трения на одну из его граней, смежные грани находятся в условиях скользящей заделки. В задачах Q и Q % противоположная грань соответственно лежит без трения на жестком основании или жестко защемлена, а штамп расположен симметрично. Эти задачи исследуются с помощью методов сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов и асимптотическим методом больших А. В задаче 5з штамп расположен несимметрично и для исследования использован метод однородных решений. Произведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп-прямоугольник. Здесь также как и для задачи Сз обнаружена аналогичная немонотонная зависимость жесткости системы штамп-прямоугольник относительного расстояния боковой грани от края штампа, при этом немонотонность более ярко выражена при больших значениях коэффициента Пуассона. [35]
Здесь г принимает значения a и Ь, значок штрих означает дифференцирование по всему аргументу. Результирующее поле напряжений представляет собой сумму всех четырех систем напряжений. Приведенные выше формулы для напряжений и перемещений обеспечивают точное удовлетворение всем граничным условиям на боковых поверхностях. Как было указано выше, удовлетворение граничным условиям на торцах можно реализовать с помощью метода однородных решений в интегральном смысле. Нетрудно видеть, что расчет даже относительно простого вида нагружения в трехмерном случае представляет собой достаточно сложную задачу. Для получения приемлемых с инженерной точки зрения соотношений используем прием, состоящий в том, что граничные условия на боковых поверхностях будем удовлетворять точно путем решения трехмерных уравнений теории упругости, а на торцах с помощью методов сопротивления материалов. [36]
Для этой цели использована хорошо разработанная теория для полубесконечных тел. Для их решения предложен эффективный метод, основанный на известных спектральных соотношениях и методе Ремеза. Основываясь на специальном представлении решения интегрального уравнения, в соотношениях для неоднородного решения плохо сходящаяся часть интегрируется, что позволяет получить соотношения удобные для численной реализации. Результаты исследований, приведенные в этой главе, показали, что метод однородных решений является удобным и эффективным средством решения контактных задач для тел, достаточно сильно отличающихся от канонических. [37]