Cтраница 4
Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений ( например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [46]
Использование метода Кеслера для установления эквивалентности процедур для случаев двух и многих классов представляет собой мощное теоретическое средство. Он может быть использован для распространения на случай многих классов тех результатов, которые были получены ранее при исследовании процедур персеп-трона и метода релаксаций. То же утверждение справедливо и для правил коррекции ошибок в методе потенциальных функций. К сожалению, непосредственное использование изложенной методики невозможно для обобщения метода наименьших квадратов и линейного программирования. [47]
Важной особенностью метода наискорейшего спуска является то, что при его применении каждое новое направление движения к оптимуму ортогонально предшествующему. Тем самым метод наискорейшего спуска имеет сходство с методом релаксации, для которого новое направление также ортогонально предшествующему; однако в отличие от метода релаксации скорость сходимости к оптимуму не зависит от ориентации системы координат. [48]
Решение уравнений ( 10) может быть найдено при помощи как точных, так и приближенных методов. Итерационные методы и методы релаксации, как правило, менее эффективны. [49]
Пусть индексы небазисных переменных в начальном цикле двойственного симплекс-метода содержатся в начальном множестве R процедуры релаксации. Далее, пусть множество V в шаге 3 релаксации представляет собой индекс ограничения неотрицательности, нарушенного в наибольшей степени. Тогда для цикла k двойственного метода и метода релаксации индексное множество небазисных переменных в двойственном методе совпадает с множеством R в релаксации, причем XBJC, где xh - вектор значений х в двойственном симплекс-методе. [50]
В сущности, это означает, что при наличии объема памяти ЭВМ, достаточного для хранения обратной матрицы А и выполнения самой процедуры обращения, определение узловых потенциалов этим методом может быть выполнено существенно быстрее, чем методом релаксации либо итерации. Основные погрешности, возникающие в данном методе: во-первых, процедура округления из-за ограниченной длины слова в ЭВМ и, во-вторых, ошибки, обусловленные самой конечно-разностной аппроксимацией уравнений в частных производных. Погрешности, связанные с выбором числа итерационных циклов и возникающие в методах релаксации или итерационном, здесь отсутствуют. [51]
В случае, изображенном на рис. 6.8.4, последовательные приближения смещаются все время монотонно влево и вниз. Такая картина - монотонное смещение отдельных компонент все время в одном и том же направлении характерна для ряда классов матриц. При этом довольно часто монотонное смещение наблюдается именно у компонент решения, скорость сходимости которых наиболее плохая. В этих случаях для ускорения сходимости прибегают к методу релаксации, который заключается в следующем. [52]
В случае, изображенном на рис. 6.7.4, последовательные приближения смещаются все время монотонно влево и вниз. Такая картина - монотонное смещение отдельных компонент все время в одном и том же направлении - характерна для ряда классов матриц. При этом довольно часто монотонное смещение наблюдается именно у компонент решения, скорость сходимости которых наиболее плохая. В этих случаях для ускорения сходимости прибегают к методу релаксации, который заключается в следующем. После уточнения каждой координаты по методу Зейделя производится смещение в том же направлении на р-ю часть этого смещения. [53]
Так известно, что методы релаксаций обладают многими преимуществами в смысле простоты алгоритмизации, но крайне медленной схедимости особенно на последних итерациях расчета, ( а метод Тилле и Гедеса при хороших начальных приближениях обладает высокой скоростью сходимости. Такой подход тс решению задачи расчета процесса многокомпонентной ректификации в свою очередь обладает рядом недостатков, к числу которых относят [260]: необходимость использования двух различных программ расчета, что в общем случае не является существенным затруднением, т ак как большинство современных методов расчета процессов разделения представляют собой комплексы программ, из которых собирается общий моделирующий алгоритм; трудность оценки того, насколько необходимо использовать именно сочетание различных методов или же данная задача может быть решена с использов анием лишь одного из них; невозможность четкого определения момента переключения с одного метода расчета на другой. В данном случае также используется сочетание метода релаксаций и метода независимого определения концентраций. В этом случае предлагается использовать расчетную схему с переменным числом итерационных циклов, проводимых по методу релаксаций при каждом решении системы уравнений математического описания. [54]