Метода - рунге-кутт
Cтраница 3
Процесс решения этой задачи называется интегрированием дифференциального уравнения. В болыиинстве случаев используют приближенные методы интегрирования дифференциального уравнения. Наиболее часто используются методы Рунге-Кутта различных порядков. [31]
Для этой цели можно воспользоваться разложением в ряд Тэйлора функции у ( х) при х - лг0, так как значения ее производных в этой точке могут быть вычислены, если / ( х, у) имеет частные производные требуемого порядка. Можно также использовать для построения начала таблицы методы Рунге-Кутта ( см. ниже) или Муль-тона ( стр. [32]
ГА 1), а символ Г в аргументах переменных опущен. Эта рекуррентная операция, известная как метод Эйлера, представляет собой последовательную цепочку вычислений и очень просто реализуется на цифровых компьютерах. Для вычислений по формуле (3.87) могут быть использованы и другие методы численного интегрирования, например методы Рунге-Кутта. Некоторые методы интегрирования реализованы в среде MATLAB. [33]
Во многих практически важных случаях удается разумным образом сочетать оба метода, учитывая их достоинства и недостатки. Для анализа и синтеза нелинейных систем, которые допускают кусочно-линейную аппроксимацию, целесообразно применять численный метод интегрирования, основанный на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности выбранной точки. Следует заметить, что алгоритмы, реализующие этот метод, по затратам машинного времени, как правило, существенно уступают методам Рунге-Кутта. Тем не менее наличие самостоятельного начала решения задачи, вычисление погрешности на каждом шаге интегрирования, возможность находить коэффициенты ряда Тейлора не через производные, а с помощью формулы Коши для умножения степенных рядов позволяют построить алгоритмы рекуррентного типа, которые легко программируются на ЭЦВМ Этот метод может быть применен для расчета систем как со статическими нелинейными элементами, допускающими кусочно-линейную аппроксимацию, так и с динамическими нелинейными элементами, описывающимися линейными диффренциальными уравнениями с коэффициентами, которые могут изменяться скачком в момент переключения и до следующего переключения оставаться постоянными. [34]
В методах Рунге-Кутта используется информация только об очередной точке, поэтому с них нужно начинать решение уравнения. Однако выигрывая на малой информативности метода, мы проигрываем в машинном времени, ибо неоднократно вычисляем значение функции в разных точках. Малая информативность методов позволяет легко менять шаг интегрирования. Все методы Рунге-Кутта отличаются тем, что для них очень трудно получить выражение ошибки ограничения. [35]
 |
Опорожнение бака. пунктирные линии - квазистаттеское приближение. сплошные линии - с учетом инерционности. [36] |
Этот метод устойчив и для получения решения в следующей точке требует значения решения только в одной предыдущей точке. Поэтому шаг интегрирования может быть изменен на любом этапе вычислений. С другой стороны на каждом шаге метод Рунге-Кутта требует. При самостоятельном составлении программы студентам рекомендуется использовать более простой метод Эйлера. [37]
Для решения такой системы также следует применять метод последовательных интервалов или метод Рунге-Кутта [ I порядка с шагом интегрирования 0 05 с при условии, что самая малая постоянная времени не менее 0 025 с. При нарушении условия устойчивости числового решения следует уменьшить шаг до 0 01 с. Более эффективным для решения рассматриваемых задач оказывается метод трапеции ( неявный метод II порядка с шагом, равным от 0 05 до 0 1 с), являющийся наиболее устойчивым и не допускающим накапливания погрешности в процессе расчета. Применение этого метода с шагом 0 1 с приводит к сокращению времени расчета в 1 2 - 1 5 раза и увеличению точности вычислений примерно на 10 % по сравнению с методом Рунге-Кутта II порядка. Методы Рунге-Кутта и методы прогноза и коррекции высокого порядка не эффективны, так как приводят к увеличению времени расчета на ЦВМ по сравнению со временем расчета методом трапеции примерно в 1 5 - 2 раза. [38]
Страницы: 1 2 3