Cтраница 3
В случае, если коэффициенты ai входят линейно в формулы ( 2), то приравнивая производные dQfdai к нулю, получим систему линейных уравнений для их определения. Если же коэффициенты входят в формулы ( 2) нелинейно, то для их определения могут быть использованы методы спуска, описанные выше. [31]
Следует отметить, что сказанное выше есть не более чем общие соображения, которые, хотя и показывают, как можно построить направление наискорейшего спуска, отнюдь не составляют алгоритма его построения. Дело в том, что полученные квадратичные задачи сами достаточно сложны; чтобы решить их, опять-таки приходится обращаться к методам спуска. [32]
При решении задачи ( VI, 17) необходимо искать глобальный минимум. Так например, если G - невыпуклая область, то задача (VI.15) может иметь несколько минимумов и для ее решения необходимо использовать сложные нелокальные методы спуска. [33]
У нормальных аппаратов число возможных комбинаций конструктивных независимых параметров ( типоразмеров) сравнительно невелико, поэтому при поиске минимума Я используется метод перебора. Если среди переменных имеются технологические параметры ( например, температура) и есть необходимость нахождения оптимума с малым шагом по температуре, рациональна комбинация метода сеток и метода спуска, причем метод спуска по одной переменной ( температуре) применяется для каждой комбинации конструктивных параметров. [34]
В случае, когда для выпуклой функции ф ( лг) выполняются условия 1 и 2, справедливы оценки скорости сходимости методов спуска, в том числе градиентного спуска и метода сопряженных направлений, а так же методов случайного покоординатного спуска и метода случайного спуска, аналогичные тем, которые приводились в пп. При этом константы в этих оценках будут иными, но порядок скорости сходимости остается прежним. [35]
В целом вопросы скорости сходимости методов случайного спуска исследованы недостаточно подробно. Методы случайного спуска целесообразно применять для нахождения минимума таких плохо организованных функций, вычисление значений которых требует небольших затрат машинного времени. [36]
Иногда бывает проще искать такой минимум, чем решать систему уравнений. Методы поиска минимума будут рассмотрены в главе VII. Все методы спуска для гладких функций - сходятся, но зачастую - довольно плохо. Поэтому на хорошую точность полученного решения трудно рассчитывать; однако этим способом обычно можно найти разумное приближение, которое потом можно уточнять методом Ньютона. [37]
Однако при e2 - j - 10, Ms 2, 3, 4, 5, 9; именно это множество и было использовано в расчетах. Что касается сравнения эффективности метода Ньютона и метода спуска по обобщенному градиенту, то в данной задаче метод Ньютона все же эффективнее, хотя о значительном преимуществе говорить нельзя. Видимо, наиболее важным является то, что алгоритм метода Ньютона очень прост ( мы считаем, что задача линейного программирования решается стандартной программой) и не включает в себя таких тонких и не вполне алгоритмически однозначных средств, как операция растяжения пространства. [38]
О важности разработки систем автоматического программирования задач моделирования сложных схем было сказано в предисловии к настоящей книге. Поскольку конечной целью моделирования является решение задачи оптимизации сложной схемы, необходимо разрабатывать системы автоматизации программирования задач оптимизации сложных схем. В связи с тем что наибольшее применение находят методы спуска, рассмотрим проблему на примере этих методов. [39]
Соответствующие алгоритмы намного сложнее своих аналогов, предназначенных для задач, ограничения которых линейны. Они включают сложные процедуры корректировки, неизбежно присутствующие в любом численном методе, предполагающем отслеживание кривых поверхностей, на которых ограничения обращаются в равенства. Это обстоятельство послужило стимулом создания других, совершенно не похожих на методы спуска и, с моей точки зрения, значительно более перспективных алгоритмов поиска экстремума в задачах с нелинейными ограничениями. [40]
При проведении замера желательно, чтобы долото было как можно ближе к забою скважины. Автономный прибор опускается до долота ( имеется в виду роторное бурение), а затем приподнимается, на 30 - 60 см с тем, чтобы он находился в подвешенном состоянии. При этом корпус его соприкасается со стенкой бурильной трубы, оси прибора и бурильной трубы параллельны. Для этого метода спуска прибор снабжается вертлюжком измерительного каната, с которым соединяется измерительный трос. Нижний копьевидный наконечник имеет одинаковый с контейнером прибора наружный диаметр. [41]
Если критерий Q в допустимой области U обладает одним максимумом, в общем случае трудно сказать, имеет ли один из этих методов преимущество перед другим с точки зрения скорости сходимости. По-видимому, дело обстоит иначе, когда критерий Q имеет в допустимой области несколько локальных максимумов. Здесь преимущество может оказаться на стороне метода Черноусько и Крылова. Действительно, если в методе спуска использовать какой-либо локальный метод, то он может застрять в локальном максимуме. [42]
В данной главе будут рассмотрены алгоритмы отыскания экстремума нелинейной функции при нелинейных ограничениях. С простейшим из них, предназначенным для решения задач, ограничения которых имеют вид равенств, мы уже познакомились ранее. Надо сказать, что в своем большинстве алгоритмы такого сорта представляют собой различные способы воплощения двух подходов к организации поиска условного экстремума. Первый состоит в том, чтобы, непосредственно контролируя соблюдение ограничений задачи, двигаться к ее оптимуму по последовательности допустимых или почти допустимых точек с монотонно убывающими либо монотонно возрастающими ( это зависит от того, что ищется - минимум или максимум) значениями целевой функции Соответствующие алгоритмы называются методами спуска. Два из них представлены в первом параграфе этой главы. Второй подход заключается в сведении задачи на экстремум при наличии ограничений к последовательности задач безусловной оптимизации конструируемых специальным образом вспомогательных функций. Эти функции принято называть штрафными, а использующие их алгоритмы - методами штрафных функций. Им посвящен второй параграф. [43]
Соответствующие алгоритмы намного сложнее своих аналогов, предназначенных для задач, ограничения которых линейны. Они включают сложные процедуры корректировки, неизбежно присутствующие в любом численном методе, предполагающем отслеживание кривых поверхностей, на которых ограничения обращаются в равенства. Это обстоятельство послужило стимулом создания других, совершенно не похожих на методы спуска и, с моей точки зрения, значительно более перспективных алгоритмов поиска экстремума в задачах с нелинейными ограничениями. Это убедительно продемонстрировал доклад Абади и Гюго ( 1970), где показано, что среди алгоритмов решения задач с нелинейными ограничениями, для которых составлены и успешно используются универсальные вычислительные программы, методы спуска занимают далеко не последнее место. [44]