Cтраница 3
Различие состоит в том, что новые значения Xj используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации. [31]
На выбор вычислительного алгоритма решающее влияние может оказать тип ЭВМ. Так, например, при использовании вычислительной машины параллельного действия с возможностью одновременного выполнения какой-либо команды ( операции) для большого потока данных применяют методы Якоби и релаксации. [32]
Методы Якоби стремятся диагонализовать данную матрицу А посредством последовательности якобиевых вращений. Нулевые элементы, полученные на одном этапе, становятся ненулевыми на последующих, и всякая диагонализующая последовательность должна в принципе быть бесконечной. Методы Якоби различаются единственно своими стратегиями выбора очередного обреченного элемента. [33]
Идея метода проста, и в гл. Должен сознаться, что я не вижу роли, которую методы Якоби могли бы играть на вычислительной сцене будущего. Эти сомнения аргументируются в последнем параграфе главы. [34]
Достаточно привести такой пример: в задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Эйлера находятся все интегралы динамических уравнений Эйлера и определяются все искомые неизвестные как функции времени. Но уравнение Гамильтона - Якоби в этом случае не интегрируется в квадратурах в углах Эйлера. Да и вообще в задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки метод Якоби проходит только для случая Лагранжа; это показано М. А. Чуевым, работа которого публикуется в данном же сборнике. [35]
Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение W-функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [36]
Неверно, что если метод Якоби сходится, то метод Гаусса - Зейделя сходится еще лучше. Существуют примеры, для которых метод Якоби сходится, а Гаусса - Зейделя - расходится. Источником этого заблуждения является то обстоятельство, что если А - симметричная положительно определенная матрица, то метод Гаусса - Зейделя сходится в два раза быстрее метода Якоби. [37]
В студенческой работе О поверхностях minima [110] Граве изложил вначале методы интегрирования дифференциального уравнения наименьших поверхностей, принадлежащие О. Затем он подробно излагает способ А. Н. Коркина, давшего интеграл уравнения наименьших поверхностей в особенно простой форме, для случая задания одной граничной кривой и заданного направления нормалей к поверхности для точек этой кривой. Граве иллюстрирует способ Коркина тремя примерами. Потом он переходит к случаю, когда заданы две граничных кривых. В магистерской диссертации Об интегрировании частных дифференциальных уравнений первого порядка, защищенной им в Петербургском университете в 1889 г. [78], Граве обобщил второй метод Якоби ( или метод Якоби-Майера) на случай, когда заданные уравнения содержат в явном виде искомую функцию, приложил метод Коркина к решению обобщенной задачи Коши; при этом ему пришлось существенно изменить изложение метода Коркина. [38]