Cтраница 4
Теория трехмерных многообразий совершенно преобразилась за последние несколько лет. Терстона [66-70], который показал, что в дополнение к чисто топологическим методам важную роль в этой теории играют и геометрические методы. Основная цель этой книги - обсудить различные появляющиеся при этом геометрии и объяснить их значение в теории трехмерных многообразий. Идея заключается в том, что на многих трехмерных многообразиях можно ввести хорошие метрики, позволяющие достичь нового, более глубокого понимания свойств этих многообразий. Для целей книги наилучшими являются метрики постоянной кривизны. Наблюда тель на многообразии постоянной кривизны видит одну и ту же картину, где бы он ни стоял и в каком бы направлении ни смотрел. Такие многообразия обладают специальными топологическими свойствами. Однако нам придется рассматривать и хорошие метрики, кривизна которых непостоянна. В этой книге я объясню, что понимается под словами хорошая метрика, и опишу принадлежащую Терстону классификацию таких метрик в размерности три. Затем мы обсудим некоторые из трехмерных многообразий, допускающих эти хорошие метрики, и взаимосвязь между их геометрическими и топологическими свойствами. [46]
Ситуация осложняется многочисленными техническими проблемами, связанными с трудностями вычисления физических характеристик в процессе экстраполяции от 10 - 33 см до обычных масштабов в микромире. Поэтому особое значение приобретают те результаты, которые могут быть получены топологическими методами. [47]
Второе дополнение посвящено использованию оператора сдвига для исследования интегральных уравнений теории нелинейных колебаний. Здесь я счел полезным объяснить, как синтез метода интегральных уравнений с топологическими методами, основанными па изучении оператора сдвига, позволяет получать признаки существования периодических решений у уравнений с запаздывающими аргументами. [48]
Представляется ясным, что бифуркации в вариационных задачах, рассмотренные Сьюэллом [96, 97], поддаются исследованию топологическими методами - и, несомненно, топологический подход к особенностям поверхности текучести должен оказаться интересным - но развивать эту тему здесь мы не имеем возможности. [49]
В целом наибольшие ограничения задаче расчета надежности создает точность исходных данных. С четом точности особенностей математических моделей и методов их исследования для систем на 1УР - ЗУР рекомендуются логико-верояшостные методы, а на 4УР - 5УР - специализированные логико-топологические и общие топологические методы. [50]
Так как движение многих механических систем описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, весьма желательно знакомить студентов механических специальностей с некоторыми методами исследования нелинейных дифференциальных уравнений, а студентов электротехнических специальностей вплотную подводить к методам моделирования таких уравнений. При изложении теории колебаний преподаватель имеет возможность наиболее наглядно показать учащимся могущество математики и в то же время познакомить их с неинте-грируемымн аналитически задачами механического движения, которые, однако, можно решить с помощью вычислительной техники, а также проанализировать приближенными или топологическими методами. [51]
Именно необходимость отыскания большого числа различных деревьев является серьезным недостатком топологического метода расчета цепей, основные понятия и формулы которого были предложены Кирхгофом еще в 1847 г. и Максвеллом в 1892 г. Внедрение в расчетную практику ЭВМ и развитие теории графов вновь возбудили интерес к этому разделу теории цепей, однако даже мощные современные ЭВМ не в состоянии устранить основной недостаток метода. Необходимость отыскания и хранения большого числа деревьев, которое уже для цепи с q - 10 достигает 108, проблематична даже и для мощных ЭВМ. Поэтому топологические методы приемлемы для схем с относительно малым числом узлов. [52]