Cтраница 2
От класса TOneStep образованы два класса-потомка, реализующих современные одношаговые методы интегрирования семейства Рунге-Кутты. Ниже, в таблицах 6.7 и 6.8 приведены названия и описания новых или перекрытых по отношению к родительскому полей и методов данного класса. [16]
Рассмотрим специальный способ получения оценки погрешности, применимый лишь к одношаговым методам. [17]
Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений ( задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке тя 1 находится по известному решению в точке тп. [18]
Среди множества численных методов решения дифференциальных уравнений наиболее простые - это явные одношаговые методы. К ним относятся различные модификации метода Рунге-Кутта. [19]
Таким образов, многошаговые методы имеют численную устойчивость, значительно меньшую, нежели одношаговые методы. [20]
Отметим в заключение, что правило Рунге может быть использовано не только при решении обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми методами. [21]
Наиболее распространенными методами повышенной точности являются многошаговые методы, а также всевозможные комбинации многошаговых методов, в том числе и методы последовательных приближений и одношаговые методы типа Рунге - Кутта. [22]
В связи с полученной оценкой ( 12) и возможностью получения аналогичной оценки для случая численного решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с быстро сближающимися решениями одношаговые методы находят широкое применение в вычислительной практике. В то же время методы, для которых в подобной ситуации погрешность растет неограниченно, практически исчезли из употребления. Заметим, что в случае fy b0 в соответствии с утверждением леммы решения расходятся с экспоненциальной скоростью, и поэтому погрешность любого метода должна неограниченно расти при х - сю. [23]
Таким образом, в этом случае для оценки погрешности не требуется дополнительных вычислений функции / ( т, и), что является преимуществом по сравнению с одношаговыми методами. Однако у многошаговых методов сложнее реализуется процедура изменения шага. При уменьшении шага необходимо либо путем интерполяции определить значения искомой функции в новых предшествующих точках, либо получать по одно-шаговой схеме новые разгонные точки. [24]
Поскольку на каждом шаге вместо вычисления f ( x, у) используется уже имеющаяся информация о предыдущих точках, то предиктор-корректорные методы обычно более экономичны в смысле затрат машинного времени по сравнению с одношаговыми методами. [25]
Рассмотренные методы при р 2 являются многошаговыми. К одношаговым методам относится метод Рунге - Кутта. [26]
В большинстве оптимизационных задач электроэнергетики приходится учитывать потери активной мощности в сети, что составляет главную сложность из-за нелинейности и многомерности. Сюда относятся градиентные одношаговые методы ( спуск с постоянным шагом, наискорейший спуск, метод Ньютона - Рафсона, комбинированный спуск) и двухшаговые методы - различные модификации метода сопряженных градиентов. [27]
В предыдущем параграфе были рассмотрены одношаговые методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Наряду с одношаговыми методами часто используются многошаговые ( или разностные) методы. Основы теории многошаговых методов излагаются в настоящем параграфе. [28]
Адамса длина рассматриваемого отрезка возрастает до 4h, сильно нарушается симметрия его расположения относительно отрезка [ х, xn i, число дополнительных начальных значений увеличивается до трех, но зато этот метод требует нахождения лишь одного значения функции f ( x, у) на узел сетки. С другой стороны, одношаговые методы с локальной ошибкой порядка ft5 сопряжены уже с четырьмя обращениями к блоку вычисления значений функции / ( х, у) на узел сетки, но не требуют нахождения дополнительных начальных значений и характеризуются минимальной длиной h упомянутого выше отрезка. [29]
Многошаговые методы, основанные на этой идее, весьма эффективны. Если требуется высокая точность, то они обычно более экономичны, чем одношаговые методы, и часто можно тривиально получить оценку ошибки усечения. Порядок метода может выбираться автоматически и динамически изменяться, тем самым получаются методы, работающие для очень широкого круга задач. В процессе решения могут выявляться некоторые виды ошибок. Жесткие уравнения ( обсуждаемые ниже) могут решаться некоторыми многошаговыми методами, и уравнения можно автоматически классифицировать как жесткие или нежесткие. Эти достоинства приобретаются ценой усложнения программы и в некоторых случаях за счет возможной численной неустойчивости. [30]