Одношаговая метода

Cтраница 3

Значения ylt y2, у3, необходимые для вычисления у3, нужно получить каким-либо другим способом ( например, методом Рунге - Кутта), что существенно усложняет алгоритм. Кроме того, метод Адамса не позволяет ( без усложнения формул) изменить шаг h в процессе счета; этого недостатка лишены одношаговые методы. [31]

Метод предиктор-корректор. [32]

Значения г / ь у 2, Уз, необходимые для вычисления у 4, нужно получить каким-либо другим способом ( например, методом Рунге-Кутта), что существенно усложняет алгоритм. Кроме того, метод Адаме а не позволяет ( без усложнения формул) изменить шаг h в процессе счета; этого недостатка лишены одношаговые методы. [33]

Приведенные системы дифференциальных уравнений можно решить одним из численных методов, которые делятся на самоначинающие одно - и многошаговые методы прогноза и коррекции. К одношаговым можно отнести методы Рунге - Кутта, к многошаговым - Адамса, Крылова, Бешфорта, Милна, Хеминга, Ральстона и др. Одношаговые методы требуют меньше оперативной памяти ЭВМ и позволяют вести интегрирование с переменным шагом, одинаковым для всех переменных. Наибольшее распространение получил четырехточечный метод Рунге - Кутта, где приращение определяют по четырем изменениям скорости каждой интегрируемой переменной с некоторыми весами. Необходимо на каждом шаге четыре раза решать дифференциальное уравнение, что требует значительного машинного времени. [34]

Однако такая организация вычислений требует больших дополнительных затрат вычислительного труда: объем работы на один узел сетки возрастает почти втрое. Рассмотрим сейчас способ построения правил численного интегрирования дифференциальных уравнений, который позволяет во многих случаях полнее использовать результаты промежуточных вычислений и, в частности, получать одношаговые методы предсказывающе-исправляющего характера, что дает возможность практически без дополнительных вычислений судить о локальной погрешности полученного значения приближенного решения и об удаче выбора шага численного интегрирования. Заметим, что здесь и всюду, где речь идет о построении вычислительных правил, мы рассматриваем обычно приближенное решение без учета погрешностей, обусловленных ошибками округлений и неточным заданием исходных данных, тем самым понятие погрешности приближенного решения используется в более узком смысле погрешности метода. [35]

Выбор коэффициентов определяется величинами ошибки дискретизации и ошибки округления, а также уровнем возрастания этих ошибок. ХЪ Уп), которые определяются с помощью методов, описанных в разделе Методы, основанные на использовании нескольких раагонных точек, а также в разделе Метод Рунге - Кутта и другие одношаговые методы. В общем же случае выражение (40.43) представляет собой интерполяционную формулу, решение которой относительно Уп 1 является нелинейной задачей, если f ( x, у) есть нелинейная функция у. Подобные задачи решаются итерационными методами, описанными в последующих параграфах. [36]

Разгонные точки при этом не требуются и величина шага может быть изменена весьма просто. Одношаговые методы, кроме того, часто используют для определения решения в разгонных точках при методах последовательных приближений. [37]

Одношаговые методы и методы прогноза и коррекции обеспечивают примерно одинаковую точность результатов. Однако вторые, в отличие от первых позволяют легко оценить погрешность на шаге. По этой причине, пользуясь одношаговыми методами, величину шага h обычно выбирают несколько меньше, чем это, строго говоря, необходимо, и поэтому методы прогноза и коррекции оказываются более эффективными. [38]

Одношаговые методы имеют, однако, и слабые стороны. В них нужно большее количество вычислений функций, чем в многошаговых методах. Из-за большой по сравнению с многошаговыми методами ошибки аппроксимации для достижения желаемой точности в одношаговых методах требуется малый шаг, а это означает большое время счета. [39]

Стремление к более высокой точности с помощью многошаговых методов, таких, как (40.39), имеет недостаток - требуется больше начальных условий, чем обычно задано. Чтобы начать вычисления, вообще говоря, можно использовать формулу (40.37), но это может привести к появлению нежелательных начальных ошибок, которые в конце концов отразятся на общей ошибке вычислений. Обычно для отыскания начальных значений используют разложение в ряд Тэйлора, учитывая при этом те члены, которые по величине превосходят порядок допустимой ошибки, или используют одношаговые методы, описанные ниже, например метод Рунге - Кутта. [40]

Страницы: 1 2 3