Cтраница 3
В связи с тем что жесткоустойчивые многошаговые методы непременно должны быть неявными, возникла необходимость повышения устойчивости явных многошаговых методов путем использования матрицы Якоби в качестве дополнительной информации. [31]
Одношаговые методы имеют, однако, и слабые стороны. В них нужно большее количество вычислений функций, чем в многошаговых методах. Из-за большой по сравнению с многошаговыми методами ошибки аппроксимации для достижения желаемой точности в одношаговых методах требуется малый шаг, а это означает большое время счета. [32]
Одношаговые методы в этом отношении являются предпочтительными. Вид одношаговых правил не связан с величиной шага на предыдущем этапе вычислительного процесса и поэтому эти правила легко допускают изменение шага численного интегрирования, в то время как многошаговые методы нужно специальным образом приспосабливать для этих целей. Это предопределяет концентрирование такой информации на малом отрезке в случае одношаговых методов и рассредоточение ее на отрезке длиной в несколько шагов интегрирования в случае многошаговых правил. Последние соображения дают основания ожидать, что в областях резкого изменения поведения функций предпочтительнее будут методы, при построении которых информация о таких функциях ( при сохранении ее количества) привлекалась бы более концентрировано. Эти же соображения поясняют и основной недостаток одношаговых методов ( в сравнении с многошаговыми), связанный с их трудоемкостью. Так как в случае одно-шаговых правил информация о решаемой задаче используется лишь в пределах одного шага, то при переходе от шага к шагу ее, вообще говоря, нужно каждый раз заново получать, в то время как в случае многошаговых методов предоставляется возможность повторного использования части такой информации на нескольких соседних этапах вычислений, что позволяет уменьшить затраты вычислительного труда на каждый шаг численного интегрирования. [33]
Был продемонстрирован метод Рунге - Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения (6.34) и (6.35) с коэффициентами из уравнений (6.12) - (6.15) представляют формулы Рунге - Кутта четвертого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка. Далее были кратко рассмотрены многошаговые методы. [34]
Одношаговые методы имеют, однако, и слабые стороны. В них нужно большее количество вычислений функций, чем в многошаговых методах. Из-за большой по сравнению с многошаговыми методами ошибки аппроксимации для достижения желаемой точности в одношаговых методах требуется малый шаг, а это означает большое время счета. [35]
Метод сопряженных градиентов относится к так называемым квадратичным методам оптимизации. Такое название вызвано тем, что они строятся на основе квадратичного приближения исходной функции. Наиболее обширный класс методов квадратичной оптимизации представляют многошаговые методы сопряженных направлений. Эти методы достаточно просты при реализации на ЭВМ и в то же время обладают очень высокой скоростью сходимости. При необходимости производить оптимизацию при наличии помех нужно сделать предварительное тщательное сглаживание. [36]
Другими словами, планирование заранее определяет, какие УД нужно будет выполнять, и распределяет их в пространстве и во времени. При этом процесс управления разделен на этапы планирования. Очевидно, что разработка плана и программы возможна, если достоверно известны результаты предыдущего этапа, задающие и возмущающие воздействия. Характерная черта планирования - пошаговое управление, когда принятие решения на каждом последующем шаге производится с учетом результатов управления на предыдущем. Вторая черта этого типа управления - сравнительно сложные многошаговые методы выработки УР, связанные с оценкой вариантов или с проигрыванием их на модели. [37]
Многошаговые методы, основанные на этой идее, весьма эффективны. Если требуется высокая точность, то они обычно более экономичны, чем одношаговые методы, и часто можно тривиально получить оценку ошибки усечения. Порядок метода может выбираться автоматически и динамически изменяться, тем самым получаются методы, работающие для очень широкого круга задач. В процессе решения могут выявляться некоторые виды ошибок. Жесткие уравнения ( обсуждаемые ниже) могут решаться некоторыми многошаговыми методами, и уравнения можно автоматически классифицировать как жесткие или нежесткие. Эти достоинства приобретаются ценой усложнения программы и в некоторых случаях за счет возможной численной неустойчивости. [38]