Cтраница 3
В тех же самых энтропийных терминах выразим метрические свойства ДКП. Известно, что естественная метрика ДКП логарифмическая. [31]
Докажите, что каждая ограниченная вещественная функция f на М, равномерно непрерывная относительно Ым и равномерности У на R, индуцированной естественной метрикой, продолжается до ограниченной вещественной функции F на X, равномерно непрерывной относительно IL и У. [32]
В заключение этого параграфа обсудим дискретные группы изометрий гиперболической плоскости. Если G - такая группа и G действует на Я2 свободно, то, как и обычно, фак-тормногообразие H2 / G наследует естественную метрику, такую что проекция H2 - - H2 / G является локальной изометрией. Если G действует несвободно, то H2 / G все равно наследует естественную метрику, но при этом имеются особые точки трех типов - конические точки, отражающие прямые и угловые отражатели. Хороший класс примеров опять доставляют группы треугольников. Как обычно, мы определяем группу A ( p q r) как группу изометрий гиперболической плоскости, порожденную отражениями относительно сторон треугольника А, а группу h ( p q r) как ее подгруппу, состоящую из преобразований, сохраняющих ориентацию. Можно доказать, что образы треугольника А под действием группы k ( p q r) задают разбиение гиперболической плоскости и что стабилизатор треугольника А тривиален, но это не так очевидно, как в предыдущих случаях. Отсюда следует, что факторповерхность Я2 / А ( р, q, r) изометрична исходному треугольнику А, а факторповерхность H2 / & ( p q r) изометрична удвоенному треугольнику А и потому является двумерной сферой с гиперболической метрикой всюду, кроме трех конических точек. [33]
Исследуем предположение, что непрерывная функция y / ( x) отображает пространство X в пространство Y взаимно однозначно. Пусть X означает пространство Ог ( а, Ь) функций x ( t) с непрерывной производной на отрезке [ а, Ь (12.25) с его естественной метрикой, a Y есть подмножество пространства Rs ( a, b всех непрерывных функций на [ а, Ь ] ( с его естественной метрикой), состоящее из функций с непрерывной производной; это множество мы вправе рассматривать как самостоятельное метрическое пространство. [34]
& положительна в силу неравенства Буняков-ского - Шварца для поливекторов ( ср. Qk является положительной ( 1, 1) - формой всюду в BR, кроме точек стационарности присоединенной кривой Fk - Таким образом, формы Qk определяют в BR полуметрики, индуцированные естественными метриками грассманианов G ( n k); эти формы называются метрическими формами. [35]
Исследуем предположение, что непрерывная функция y / ( x) отображает пространство X в пространство Y взаимно однозначно. Пусть X означает пространство Ог ( а, Ь) функций x ( t) с непрерывной производной на отрезке [ а, Ь (12.25) с его естественной метрикой, a Y есть подмножество пространства Rs ( a, b всех непрерывных функций на [ а, Ь ] ( с его естественной метрикой), состоящее из функций с непрерывной производной; это множество мы вправе рассматривать как самостоятельное метрическое пространство. [36]
Интуитивно понятно, что, чем меньше расстояние между объектами, тем они более схожи. Но как выбрать естественную метрику, то есть как естественно для данной задачи измерить расстояние между объектами. [37]
Если применять систему 2N координат х, в которой N координат совпадает с обобщенными координатами q, а остальные N - с обобщенными импульсами PJ, то отмеченные тензорные свойства PJ сохраняются лишь тогда, когда система координат х - декартова. В какой-либо иной системе координаты не являются тензорными величинами. Следовательно, в системе координат х1 естественная метрика является евклидовой. [38]
Если G - дискретная группа изометрий риманова многообразия М ( любой размерности) и G действует на М свободно, то соответствующее факторпространство с естественной метрикой также является римановым многообразием. В таком случае на факторпространстве по-прежнему имеется естественная метрика, но оно уже не будет римановым многообразием. Действительно, топологически факторпространство не обязано быть многообразием. Например, если группа Z2 действует на пространстве Е3 посредством отображения jci - - х, то факторпространство гомеоморфно конусу над проективной плоскостью Р2, и оно перестает быть многообразием в конической точке. Мы хотим ввести некоторую терминологию для описания типов пространств, которые получаются таким способом. Вначале введем понятие абстрактного пространства с особенностями, не наделенного метрикой, а уже потом рассмотрим возможные метрики по аналогии с тем, как сначала вводят многообразия, а потом рассматривают римановы многообразия. [39]
В смысле геометрии Лобачевского площадь модулярной фигуры конечна. Ввиду этого поверхность G C некомпактна, но в естественной метрике имеет ограниченную площадь. [40]
Этот весьма естественный пример приводит к следующему Обобщению понятия геометрической структуры. Мы скажем, что М допускает геометрическую структуру, если М допускает полную локально-однородную метрику. Тогда всякое накрывающее пространство М над многообразием М наследует от М естественную метрику, такую что проекция М - - М является локальной изометрией. Таким образом, если М допускает геометрическую структуру, то универсальное накрывающее пространство X над М наследует от М полную локально-однородную метрику. [41]
В заключение этого параграфа обсудим дискретные группы изометрий гиперболической плоскости. Если G - такая группа и G действует на Я2 свободно, то, как и обычно, фак-тормногообразие H2 / G наследует естественную метрику, такую что проекция H2 - - H2 / G является локальной изометрией. Если G действует несвободно, то H2 / G все равно наследует естественную метрику, но при этом имеются особые точки трех типов - конические точки, отражающие прямые и угловые отражатели. Хороший класс примеров опять доставляют группы треугольников. Как обычно, мы определяем группу A ( p q r) как группу изометрий гиперболической плоскости, порожденную отражениями относительно сторон треугольника А, а группу h ( p q r) как ее подгруппу, состоящую из преобразований, сохраняющих ориентацию. Можно доказать, что образы треугольника А под действием группы k ( p q r) задают разбиение гиперболической плоскости и что стабилизатор треугольника А тривиален, но это не так очевидно, как в предыдущих случаях. Отсюда следует, что факторповерхность Я2 / А ( р, q, r) изометрична исходному треугольнику А, а факторповерхность H2 / & ( p q r) изометрична удвоенному треугольнику А и потому является двумерной сферой с гиперболической метрикой всюду, кроме трех конических точек. [42]
Хорошо известно, что любой автоморфизм группы S3 является внутренним. Этот факт вытекает из теории классификации связных компактных групп Ли, но мы наметим прямое доказательство. Любой автоморфизм Ф переставляет однопараметрические подгруппы в S3 и, так как все они есть окружности, то имеется естественная метрика, сохраняемая автоморфизмом ср. Отсюда следует, что на касательном пространстве к S3 в единице автоморфизм ф индуцирует ортогональное отображение. [43]
Согласно теореме 5.14, полная ограниченность является необходимым условием компактности метрического пространства. Это условие не достаточно. Рассмотрим, например, метрическое пространство ( М, р), где М - множество всех рациональных точек сегмента [1; 2], ар - естественная метрика. Между тем, в соответствии с теоремой 5.4, пространство не компактно, поскольку не каждое бесконечное множество его точек имеет предельную точку. [44]
Поэтому GI изоморфна Z или Z X Z, a G порождена самое большее двумя сдвигами или скользящими симмет-риями. Заметим, что факторпространство Е2 по G в этих случаях есть открытый цилиндр, открытый лист Мебиуса, тор или бутылка Клейна. Наконец, как описывалось во введении, фак-тормногообразие Е2 по действию группы G наследует с Е2 естественную метрику, и при этом проекция Е2 - E2 / G локально является изометрией. [45]