Cтраница 3
При анализе разностной схемы ( 10), как впрочем и любой другой разностной схемы, возникают следующие вопросы: а) существование и единственность решения системы линейных алгебраических уравнений ( 10); б) каким методом надо отыскивать это решение; в) какое отношение имеет система разностных уравнений ( 10) к исходной задаче ( 1), ( 2), иначе говоря, переходит ли разностное уравнение ( 10) в уравнение ( 1), если шаг сетки h стремится к нулю. [31]
Теорема 4.1. Пусть функции F ( x), g ( x) и Q ( x, у, t) непрерывны и удовлетворяют условию единственности решений системы (4.2) при любых начальных данных. [32]
Тот факт, что задание начального фазового состояния ( в момент 0) позволяет из системы (1.4) однозначно определить фазовую траекторию х ( t), t ttt, вытекает из теоремы о существовании и единственности решений системы дифференциальных уравнений. Формулировка этой теоремы будет приведена ниже ( стр. [33]
Будем полагать, что при всех t 0 в некотором шаре I xl S Н f ( x, f) - достаточно гладкие ограниченные функции и, в частности, удовлетворены условия теорем существования и единственности решений системы ( 2) и их непрерывной зависимости от начальных условий. [34]
При & от сумма является разложением бинома ( 1 - 1) й-т и. Единственность решения системы (3.1) следует из того, что с каждым уравнением вводится только одно новое неизвестное, так что Sv могут быть вычислены последовательно. Правильность формулы (5.4) может быть доказана аналогичным образом. [35]
Это означает, что G ( c ()) - выпуклая функция и потому не имеет других стационарных точек, кроме единственной точки минимума. Единственность решения системы (3.8), (3.9), а тем самым и теорема доказаны. [36]
Эти кривые называются фазовыми траекториями. Из единственности решения системы ( 1 26) следует, что через каждую точку фазового пространства проходит одна, и только одна, фазовая траектория. [37]
Это решение, конечно, то же самое, что было получено в § 3 по формулам Крамера. Этот факт, вытекающий из единственности решения системы ( 1) при А О, можно непосредственно проверить, если подставить в формулу ( 7) выражение ( 5) для Л - и выражения ( 2) для X и Я. [38]
Величина Hf вычисляется из тривиального уравнения баланса энергии. В работе [19] была доказана единственность решения системы уравнений термодинамического равновесия, несмотря на ее нелинейность, при любом числе участвующих в химическом превращении компонент и любом числе элементарных стадий. [39]
Здесь формула (1.11) просто означает, что v - касательный вектор к кривой F ( e, x) при фиксированном х, а (1.10) дает начальные условия для этой интегральной кривой. Доказательство формулы (1.9) легко следует из единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений; а именно, поскольку как функции от 5 обе части уравнения (1.9) удовлетворяют (1.7) и имеют те же начальные условия при 6 0, они обязаны совпадать. [40]
Также найдены необходимые и достаточные условия единственности решения системы ( 11) для важных в приложениях областей D, VF-образы к-рых не являются погружаемыми. [41]
Следует отметить, что применение второго метода Ляпунова к задачам синтеза систем получило более широкое распространение, так как не было связано напрямую с интегрированием заданных систем дифференциальных уравнений возмущенного движения. Применение второго метода Ляпунова требует выполнения требований существования и единственности решений системы уравнений возмущенного движения, а также их неограниченной продолжаемости при t - со, что является необходимым условием устойчивости по Ляпунову. [42]
Оставляя в стороне обсуждение физико-химической обоснованности принятого допущения, отметим, что с расчетной точки зрения формулировка равновесия в форме закона действующих масс для идеальной системы имеет ряд достоинств. Зельдовичем 19 ] была доказана и в ряде последующих работ [20, 21] подтверждена единственность решения системы уравнений закона действующих масс для идеальных систем при условии минимизации функции свободной энергии Гиббса. Эта единственность обусловлена тем, что функции активности, выраженные как степенные функции от концентраций, имеют характер монотонных зависимостей. [43]
В результате мы получим поток exp ( evj) на данном функциональном пространстве. Конечно, проверка этого предположения приводит к некоторым очень трудным проблемам существования и единственности решений систем эволюционных уравнений, которые лежат далеко за рамками этой книги. Оставив в стороне решение этих проблем, мы получим результаты, которые, хотя и несколько формальны по своей природе, тем не менее будут иметь прямые практические приложения. [44]
Интегральная кривая может входить в равновесный режим за конечное время только в том случае, когда условия единственности решения системы (15.7) нарушаются. Отметим также, что возможность вхождения интегральной кривой системы (15.7) в начало координат при нарушении условий единственности существует вследствие того, что условия единственности решения системы дифференциальных уравнений являются достаточными. [45]