Cтраница 4
Пути, основанные на других вариационных принципах, недавно привели к пониманию этих особенностей поведения н к элементам пластин Тимошенко-Миндлина, которые свободны от указанных недостатков. Спилкер и Мунир [13-15] использовали гибридную модель в напряжениях, основанную на модифицированном принципе минимума дополнительной энергии для того, чтобы построить элемент пластины Тимошенко - Миндлина, в котором континуальные уравнения равновесия используются для определения поперечных сдвиговых н межслойных напряжений axzt avz, oz по полям напряжений ах, ад, ахд. [46]
При соответствующих упрощающих предположениях модель может быть значительно схематизирована вплоть до перехода к обычному силовому упругому бездефектному континууму. Так, если считать р -, не зависящим от х, у, г, а все тензорные плотности дефектов и порождаемые ими пластические поля - равными нулю, получим известную среду Миндлина. [47]
Интересные результаты даны при формулировке пространственной задачи теории упругости. Дано математическое описание ( изучено напряженно-деформированное состояние) задачи Кельвина о сосредоточенной силе в бесконечном теле, задачи Буссинеска о нормальной сосредоточенной нагрузке к полупространству, задачи Черрути о касательной сосредоточенной нагрузке на полупространство, задачи Миндлина о сосредоточенной силе внутри полупространства, задачи Ламе о полой сфере, нагруженной радиальными давлениями по внутренней и внешней поверхностям, и задачи Леона о напряжениях в сферической выемке в бесконечном теле при растяжении. [48]
В § 8 дается, как нам представляется, наиболее простое решение задачи о действии на упругое полупространство произвольно распределенной и как угодно направленной нагрузки. Миндлина ( R. D. Mindlin Compliance of Elastic Bodies, Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME 71, 1949, стр. График, представленный на рис. 12, взят из этой работы. [49]
Аракава [3] первым показал, что для некоторых материалов разность хода остается прямо пропорциональной приложенной нагрузке даже после значительной ползучести. Один из авторов этой книги независимо провел ряд опытов с ползучестью, надеясь найти другой такой материал, который был бы применим для исследования объемных задач. Немного позднее была опубликована статья Миндлина [4], в которой он теоретически рассматривал возможность использования вязкоупругих материалов для решения упругих задач поляризационно-оптическим методом. Автором было исследовано несколько моделей, в том числе балка при чистом изгибе. Наконец, из-за простоты был выбран диск, сжатый вдоль диаметра. [50]
Коэффициент fe в (8.113) был введен для учета неравномерности деформаций сдвига в поперечном сечении. В приложении J, следуя работам Рейсснера [25 - 28], мы изложим теорию тонких пластин, основанную на принципе минимума дополнительной энергии, и окажется, что величина k равняется 5 / 6 для изотропных пластин. С другой стороны, из результатов Миндлина [29], полученных в задаче о колебаниях тонкой пластины, следует, что k я / 12; это значение очень хорошо согласуется с k 5 / 6, полученном с применением принципа дополнительной энергии. [51]
Рассматривая основные уравнения, соответствующие теориям, в которых упругие постоянные выражаются через микроструктурные параметры материала, можно отметить, что по математической структуре они эквивалентны уравнениям аксиоматических теорий, описанных ранее. Например, модель Сана и др. соответствует микроструктурной теории Миндлина [111], а модель By - микроморфной теории Эрингена. В работе Херрманна и Ахенбаха [72] обсуждается применение к композиционным материалам теории среды Коссера. Однако теории типа Сана и By обладают определенными преимуществами, связанными с тем, что они позволяют выразить упругие постоянные среды через микроструктурные параметры материала. В них заложена возможность непосредственной проверки предсказываемых соотношений дисперсии, в то время как в более общих аксиоматических теориях такая возможность не п редусматривается. [52]
Одноволновое уравнение Бернулли удовлетворительно описывает дисперсию первой нормальной волны реального стержня вплоть до частот, на которых размеры поперечного сечения стержня равны половине длины сдвиговой волны в материале. Еще лучше дисперсия первой волны в реальном стержне аппроксимируется двухволно-выми уравнениями Бишопа и Миндлина - Геррманна. Последнее дает удовлетворительное приближение для первой волны практически на всех частотах. [53]