Cтраница 3
Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система - неопределенная. Рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы А. Выделим в этом миноре произвольную строку. [31]
Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система неопределенная. Рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы А. Выделим в этом миноре произвольную строку. [32]
Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система - неопределенная. Рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы А. Выделим в этом миноре произвольную строку. [33]
Однако поиск нормального решения задачи на ЭВМ для больших тип требует выполнения огромного числа арифметических операций, в результате которых накапливаются большие ошибки округления. Результат вычисления на ЭВМ минора матрицы А, равного нулю, обычно отличен от нуля даже при малых ошибках округления. Поэтому в таком случае совершенно не ясно, какой минор нужно считать базисным минором матрицы А. Попытка решить задачу этим способом приводит к решению, очень далекому от истинного, и, следовательно, указанный способ оказывается непригодным. [34]
Ранг матрицы вычисляют двумя способами: 1) с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду, и тогда число отличных от нуля элементов с одинаковыми индексами дает ее ранг; 2) методом окаймляющих, миноров. Первый способ при больших размерах матрицы быстрее ведет к цели, второй ценен тем, что в ходе вычислений позволяет выделить базисный минор матрицы. [35]
Покажем, что векторы, отвечающие базисным столбцам матрицы А-пусть для определенности первые г ее столбцов являются базисными - образуют базис этой линейной оболочки. Проверим сначала первое из этих утверждений. Но тогда в силу теоремы 1.96 любой определитель r - го порядка, построенный на этих столбцах и каких-нибудь г строках матрицы А, был бы равен нулю. В частности, был бы равен нулю базисный минор матрицы Л, что противоречит его определению. Таким образом, первое утверждение доказано. Второе утверждение мы фактически доказали в 1.93; сформулированное там для столбцов матрицы А, оно составило содержание теоремы о базисном миноре. [36]
Покажем, что векторы, отвечающие базисным столбцам матрицы А-пусть для определенности первые г ее столбцов являются базисными - образуют базис этой линейной оболочки. Проверим сначала первое из этих, утверждений. Но тогда в силу теоремы 1.96 любой определитель r - го порядка, построенный на этих столбцах и каких-нибудь г строках матрицы Л, был бы равен нулю. В частности, был бы равен нулю базисный минор матрицы А, что противоречит его определению. Таким образом, первое утверждение доказано. Второе утверждение мы фактически доказали в 1.93; сформулированное там для столбцов матрицы Л, оно составило содержание теоремы о базисном миноре. [37]
Указание: упростить матрицу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов, приняв за базисные - выбранные строки и столбцы. Указание: в данном случае базисный минор АВ есть произведение базисных миноров матриц Л и В. [38]
Оба равенства выполнены, например, при А В С О. Указание: упростить матрицу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов, приняв за базисные - выбранные строки и столбцы. Указание: в данном случае базисный минор АВ есть произведение базисных миноров матриц А ж В. [39]