Многообразие - катастрофа
Cтраница 2
 |
Предсказания, полученные на основе модели теории катастроф для экспериментальных данных на ( Бонифаций и Луджато / 5 /, Гил-мор и Нардуччи. [16] |
Форма кривых на рис. 15.5 заставляет думать, что имеет место поведение, очень близкое к описываемому принципом максимального промедления, так как параболическое касание с вертикалью сечения, проходящего через линию складок, видно у всех предпрыжковых скатов, в случае когда скачок достаточно глубок, чтобы его вертикальная часть могла быть отмечена ( ср. Оно характеристично для принципа максимального промедления, поскольку только на складке многообразие катастрофы имеет параболическое касание с вертикалью. В точках скачка Максвелла, например, это многообразие вообще не вертикально. Было бы интересно проанализировать в этой связи числа, полученные в эксперименте. [17]
В начале мы имеем точку бабочки типа Xе, на прямой - ласточкины хвосты X5; те в свою очередь лежат на плоскости сборок ( стандартные сборки X4 по одну сторону прямой и двойственные - X4 по другую); эта плоскость лежит в пространстве R3 складок X3; с одной стороны ее ( в прошлом) располагаются морсов-ские максимумы, с другой ( в будущем) - морсовские минимумы. Эта структура переносится с помощью формул, которые можно явно выписать на многообразие катастрофы. Это последнее отображается в С весьма сложным образом, с самопересечениями и с особенностями других различных типов; бифуркационное множество лучше всего изображать с помощью двумерного семейства двумерных сечений. Следуя Зима-ну [44], действие этих четырех параметров управления можно грубо описать следующим образом. [18]
Далее, с ростом напряженности повышается вероятность волнений, а увеличение разобщенности ведет к тому, что волнения принимают характер более внезапных и яростных вспышек. К этому добавляются еще гипотезы, определяющие динамическое поведение системы в виде потока обратной связи на многообразии катастрофы, указанного стрелками на рис. 17.6. ( Использование таких потоков - любимый прием Зимана, но обсуждение этого вопроса выходит за принятые нами рамки. Из рис. 17.6 видно, что при низких значениях разобщенности система стремится к устойчивому положению умеренного волнения, но при высоком уровне разобщенности она совершает колебания внутри бифуркационного множества катастрофы сборки, прыгая попеременно с верхнего листа на нижний и обратно. [19]
Это уравнение имеет тот же самый вид, что и уравнение (5.2); здесь t играет роль переменной состояния, а X и У - параметров управления. Следовательно, поверхность, определяемая уравнением (5.8) в пространстве XYt, та же самая, что и многообразие катастрофы для канонической сборки Уитни. [20]
Проведено математическое исследование теплового взрыва частицы магния при учете одновременного протекания процессов окисления и испарения металла. Построено многообразие катастроф, что позволило установить зависимость температуры частицы в стационарном состоянии от бифуркационного параметра, определяемого в виде отношения характерного времени реакции окисления к характерному времени конвективного теплообмена. Выявлены новые типы тепловой динамики частицы. Оказалось, что при реальном соотношении физических параметров возникающая катастрофа эквивалентна катастрофе сборки, однако имеются параметрические области, в которых возможна реализация усложненных сценариев воспламенения частицы. Так, в случае, когда реакция окисления более активирована по сравнению с процессом испарения, могут появиться два предела воспламенения по параметру теплообмена, а также дополнительная область низкотемпературного погасания образца. Проведено сравнение времен задержки воспламенения, предсказываемых моделью после ее верификации по опытным данным с аналогичными данными модели, не учитывающей испарение. [21]
Критические точки сдвигаются как гладкие функции от управления ( это та часть приведенного выше доказательства, где действует теорема о неявной функции) и с точностью до перепараметризации Э и добавления константы, зависящей от точки управления, ничего не изменяется. Вблизи таких точек, и только там, многообразие катастрофы можно представлять себе локально как график многозначной функции с несколькими листами ( см. примеры гл. [22]
Допустим, что мы поступим естественным, очевидным образом и будем рассматривать скорость как поведенческую переменную. Меру интроверсии / экстраверсии по-прежнему разумно использовать в качестве управляющего параметра, а именно в качестве расщепляющего фактора, ибо в этом и состоит ее действие. Поскольку теперь нормальный фактор на рис. 17.11 отсутствует, этот рисунок представляет собой проекцию многообразия катастрофы при виде сбоку. [23]
Отправляясь от стандартных формул для элементарных катастроф, мы теперь изучим различные геометрические образы, которые с ними связываются. Вместо того рутинного анализа голыми руками, который был применен нами для случая катастрофы сборки в гл. Зимана [7], в котором главном объектом изучения служит форма функции вблизи данной точки на многообразии катастрофы. Мы сосредоточим свое внимание на традиционных семи элементарных катастрофах ( не различая двойственные, см. гл. Им же в 43а ] описан прекрасный способ представлять себе геометрию в многомерном случае. [24]
К числу свойств, которые сохраняются, относится направление острия в точке сборки, а тем самым и направление, в котором множество Максвелла ( или кривая точек фазового перехода первого рода) выходит из точки ( О, О, 0): по определению сильная эквивалентность сохраняет выходящие из начала направления. Однако к этому числу не относятся такие вещи, как кривизна множества Максвелла, которая зависит от более высоких производных по р и t; для ее сохранения потребовалась бы еще более сильная эквивалентность, теоремы о которой могут быть доказаны теми же методами. В нашем случае мы уже знаем это направление, так как оно зажато между кривыми складок проекции алгебраически простого многообразия катастрофы, заданного вандерваальсовым уравнением состояния. [25]
Несколько более новый для теории катастроф тип поведения возникает, когда поверхность катастрофы и уровень порога имеют пересечение. Ситуация же, представленная на рис. 16.23 ( Ь), дает гистерезис. Если управляющей переменной служит точка физического пространства, то в случае рис. 16.23 ( а) мы имеем границу, которая будет сдвигаться при малых изменениях многообразия катастрофы М со временем в результате пересечения клетками порога переключения. В случае же рис. 16.23 ( Ь) принцип промедления даст в типичном случае множество состояний, подобное жирной кривой на рис. 16.23 ( с), с разрывом, на положение которого малые изменения М не влияют. [26]
Разумеется, доказать через четверть века, что в подходящих координатах - можно заменить на, не бог весть какой триумф теории катастроф в инженерном деле. Особенно если учесть, что отчасти эвристичное использование тейлоровских разложений получило тем временем мощное развитие, а именно у Томпсона и его сотрудников. Для рассматриваемого случая ( и вообще для выпучивания по типу двойственной сборки) все имеющее практическую важность было сказано прежде, чем на сцену вышла теория катастроф. В частности, подход с многообразием катастрофы ( в отличие от подхода, сосредоточенного исключительно на путях и их ветвлениях) был введен для случая двух измерений ( равновесная поверхность) Сьюэллом в [115], где он на примере установил то ( решающее для топологического анализа, основанного на стратификации) обстоятельство, что кривая складок оказывается гладкой в многообразии катастрофы, а особенность ( типа острия) имеет место для ее проекции в пространство параметров деформации. Надежды, возлагаемые на эту теорию, связаны с тем, что она позволяет управиться с этими высшими особенностями, и с ее критериями для достаточного числа параметров деформации. Заметьте, что то, что изображено на рис. 13.22 ( а), не представляет собой карты многообразия: невырожденная карта ( § 6 гл. Отметим также, что здесь наибольшее значение приобретают вычислительные аспекты теории, типа тех, о которых шла речь в гл. В инженерном деле, где количественная информация часто бывает легкодоступной, это может быть использовано для распознавания катастрофы. Мы обнаружили бабочку не по взмахам ее крылышек, а вычислив 6-струю. Никто никогда не предлагал решать инженерные задачи подгонкой известных данных под семь элементарных катастроф из списка Тома - во-первых, потому, что это было бы невозможно ( см. § 13 ниже), а во-вторых, потому, что у нас в распоряжении есть гораздо более мощные вычислительные средства. [27]
Читатель, незнакомый с этим языком, может пропустить вычисления, но мы их все же включили в достаточно подробном виде, так как они много проще всего, на что мы могли бы сослаться в литературе. Во второй и третьей частях содержится вывод лазерных уравнений и описание нескольких экспериментов, которые проводились с лазером. В четвертой части лазерные уравнения движения изучены при совершенно другом наборе граничных условий. Мы приходим к неожиданному результату, что имеется взаимно-однозначное соответствие между этими двумя совсем разными физическими системами и что это соответствие устанавливается с помощью многообразия катастрофы, которое их обоих представляет. В эпилоге обсуждаются возможные пути эксплуатации таких соответствий в будущих исследованиях в области критических физических систем. [28]
Разумеется, доказать через четверть века, что в подходящих координатах - можно заменить на, не бог весть какой триумф теории катастроф в инженерном деле. Особенно если учесть, что отчасти эвристичное использование тейлоровских разложений получило тем временем мощное развитие, а именно у Томпсона и его сотрудников. Для рассматриваемого случая ( и вообще для выпучивания по типу двойственной сборки) все имеющее практическую важность было сказано прежде, чем на сцену вышла теория катастроф. В частности, подход с многообразием катастрофы ( в отличие от подхода, сосредоточенного исключительно на путях и их ветвлениях) был введен для случая двух измерений ( равновесная поверхность) Сьюэллом в [115], где он на примере установил то ( решающее для топологического анализа, основанного на стратификации) обстоятельство, что кривая складок оказывается гладкой в многообразии катастрофы, а особенность ( типа острия) имеет место для ее проекции в пространство параметров деформации. Надежды, возлагаемые на эту теорию, связаны с тем, что она позволяет управиться с этими высшими особенностями, и с ее критериями для достаточного числа параметров деформации. Заметьте, что то, что изображено на рис. 13.22 ( а), не представляет собой карты многообразия: невырожденная карта ( § 6 гл. Отметим также, что здесь наибольшее значение приобретают вычислительные аспекты теории, типа тех, о которых шла речь в гл. В инженерном деле, где количественная информация часто бывает легкодоступной, это может быть использовано для распознавания катастрофы. Мы обнаружили бабочку не по взмахам ее крылышек, а вычислив 6-струю. Никто никогда не предлагал решать инженерные задачи подгонкой известных данных под семь элементарных катастроф из списка Тома - во-первых, потому, что это было бы невозможно ( см. § 13 ниже), а во-вторых, потому, что у нас в распоряжении есть гораздо более мощные вычислительные средства. [29]
В [1, 20, 23, 24] дан обзор работ по физико-математическому моделированию воспламенения мелких частиц магния. Методами элементарной теории катастроф и численно исследовано это явление в рамках точечной и распределенной моделей, учитывающих гетерогенную химическую реакцию. В то же время в литературе имеются указания на важность учета испарения металла и его окисла с поверхности частицы. Данный раздел посвящен анализу многообразия катастроф ( воспламенений) для модели теплового взрыва Mg-частицы, учитывающей испарение металла, и определению на ее основе типов тепловой динамики частицы в плоскости бифуркационных параметров модели, а также сопоставлению расчетных данных по различным моделям. [30]
Страницы: 1 2 3