Cтраница 3
Множество Z / 2 / c естественным образом оказывается гладким 2 / г-мерным многообразием класса т - 1 на основании следующей конструкции. [31]
Отсюда, из сепарабельности P ( W) и того, что Г является многообразием класса С1, вытекает доказательство леммы. [32]
Пара ( V, g) называется римановым Сг-многообразием. Поскольку класс гладкости римановой метрики не является существенным для дальнейшего, мы будем называть римановы многообразия класса Сг просто римановыми многообразиями. [33]
Пусть X - компактное С - многообразие с краем, имеющее конечную размерность s, Y - многообразие класса С2лг2 ( без края) конечной размерности t, так что % r ( X, Y) есть С - многообразие отображений. [34]
Результаты, относящиеся к И. Они формулируются в следующем виде: если компактное риманово многообразие Mk класса С ( с границей или без нее) допускает погружение класса С1 в Е при re fc 1, т но также допускает И. В частности, любое компактное риманово многообразие Mk класса С ( с границей или без нее) допускает И. [35]
Мы будем пользоваться индуцированной топологией на М; иными словами, АаМ считается открытым, если существует такое открытое множество А с IRft, что A A f M. Сг, мы говорим, что М - многообразие класса. [36]
Schlafli) высказал гипотезу, согласно к-рой всякое риманово многообразие размерности k допускает локальное И. Эта гипотеза доказана лишь для аналитич. Жане теорема); более того, во всяком римановом многообразии Mk класса Са с отмеченной точкой существует окрестность отмеченной точки, допускающая изометрич. В римановом пространстве Mk класса С00 с отмеченной точкой существует окрестность отмеченной точки, допускающая изометрич. С другой стороны, у всякого риманова многообразия класса С с отмеченной точкой существует окрестность ее, допускающая изометрич. [37]
Существует тесная связь между теориями вещественных аналитических и дифференцируемых многообразий, а также между теориями вещественных и комплексных аналитич. Whitney) доказал, что и обратно, на всяком паракомпактном многообразии класса С00 можно определить аналитич. [38]
Па i; тогда аналитическое риманово многообразие с краем, порожденное на ПД, заданной метрикой, допускает аналитич. Имеется ряд результатов, касающихся И. Так, если М2 - полное риманово многообразие класса С3 - а, гомеоморфное плоскости, то любая его компактная часть допускает И. Всякое компактное двумерное риманово многообразие класса С ( Са) допускает И. Двумерная сфера с произвольной римановой метрикой класса С00 допускает И. С в Е1, а поверхность Клейна и лист Мебиуса - И. [39]
Первым шагом в исследовании некроссовых многообразий является обозрение многообразий, все собственные подмногообразия которых кроссовы. Многообразие 4Л всех абелевых групп является очевидным примером почти крос-сова многообразия. Для описания более существенных примеров нам нужно одно обозначение. Группа В из примера 54.22, имеющая порядок р3 и экспоненту р2, порождает многообразие класса два, у которого все подмногообразия абелевы. Обозначим уагВ33 / л2 в согласии с использованным выше обозначением. В случае р 2 соответствующее многообразие порождается диэдральной группой восьмого порядка, и оно также является минимальным нильпотентным. [40]
Па i; тогда аналитическое риманово многообразие с краем, порожденное на ПД, заданной метрикой, допускает аналитич. Имеется ряд результатов, касающихся И. Так, если М2 - полное риманово многообразие класса С3 - а, гомеоморфное плоскости, то любая его компактная часть допускает И. Всякое компактное двумерное риманово многообразие класса С ( Са) допускает И. Двумерная сфера с произвольной римановой метрикой класса С00 допускает И. С в Е1, а поверхность Клейна и лист Мебиуса - И. [41]
Schlafli) высказал гипотезу, согласно к-рой всякое риманово многообразие размерности k допускает локальное И. Эта гипотеза доказана лишь для аналитич. Жане теорема); более того, во всяком римановом многообразии Mk класса Са с отмеченной точкой существует окрестность отмеченной точки, допускающая изометрич. В римановом пространстве Mk класса С00 с отмеченной точкой существует окрестность отмеченной точки, допускающая изометрич. С другой стороны, у всякого риманова многообразия класса С с отмеченной точкой существует окрестность ее, допускающая изометрич. [42]
Может быть так, что кроссово многообразие, порождаемое своими - порожденными группами, содержит критические группы, имеющие больше чем k образующих. Например, метабе-лево многообразие 212 порождается группой / ( Sl2), но оно содержит критические группы с k образующими при произвольно большом k, получаемые как факторы сплетений циклической порядка р с элементарными абелевыми р-группами. Чтобы описать, что известно в подобной ситуации о кроссовом многообразии, вернемся к утверждениям 24.64 и 24.66 об условиях того, что произведение многообразий является кроссовым Многообразием. Теперь мы можем показать, что 1Ш, где 11 - ( йильпотентное многообразие класса с и экспоненты т, взаимно простой с п, является кроссовым многообразием. [43]