Открытое многообразие

Cтраница 1

Открытое многообразие отличается от замкнутого лишь тем, что лежащий в основе его остов состоит не из конечного числа, а из бесконечной последовательности элементов. [1]

Для данного открытого многообразия V полиэдр VQ С V называется остовом многообразия I /, если для сколь угодно малой окрестности U многообразия l / Ь существует неподвижная на VQ изотопия ср /: V - V, стягивающая V в U. Можно доказать ( хотя это не потребуется нам в дальнейшем), что остов всегда существует. [2]

На открытом многообразии М неотрицательной кривизны существует ограниченная сверху собственная вогнутая функция. [3]

Пусть V - открытое многообразие, а G НР ( У) - фиксированный класс когомологий и К С № У - открытое Diff V -инвариантное подмножество. [4]

Выберем в G открытое многообразие Л / размерности п - 1, содержащее многогранник L. Мы получаем отображение 6 - ( очевидно, непрерывное) многообразия Л; в область О. [5]

Тогда локально замкнутым многообразием естественно называть замкнутое подмногообразие открытого многообразия. [6]

Связаны с гипотезой Пуанкаре исследования по трехмерным стягиваемым открытым многообразиям. В работе Кистера и Макмиллана [170] показывается, что некоторый пример, предложенный Бингом, удовлетворяет второму из этих свойств, но не удовлетворяет первому. Далее, Макмиллан показывает, что способ Уайтхеда, которым был построен первый пример стягиваемого открытого многообразия ( не Е3), является в некотором смысле общим для всех тех из них, компактные подмножества которых вложимы в Е3: они представляются в виде растущей суммы полных кренделей, причем каждый контур в каждом из них стягивается в точку в последующих. [7]

Напомним ( см. § 4.3), что для открытого многообразия V полиэдр VQ С V называется остовом этого многообразия, если для сколь угодно малой окрестности U полиэдра l / Ь существует изотопия / г /: V - V, неподвижная на VQ, стягивающая V в ( У. [8]

Пусть К с Х - открытое Diff V -инвариантное соотношение над открытым многообразием V. Пусть ВсУ - замкнутое подмножество такое, что каждая компонента связности дополнения V В имеет выход на бесконечность. [9]

Мендес показал в [63], что грубые векторные поля и диффеоморфизмы существуют на любом открытом многообразии. [10]

Метод доказательства / г-принципа, основанный на теореме о голономной аппроксимации, хорошо работает для открытых многообразий. В случае замкнутых многообразий его применение требует некоторого дополнительного приема, называемого микрорасширением. Метод голономной аппроксимации пригоден также для замкнутых дифференциальных соотношений, обладающих свойством микрогибкости. Наиболее интересные приложения такого рода относятся к симплектической геометрии. Эти приложения обсуждаются в третьей части книги. Для удобства читателя в этой же части содержится обзор основных понятий симплектической геометрии. [11]

Хиршем), позволяющий иногда переформулировать задачи, относящиеся к замкнутым многообразиям, в терминах открытых многообразий. Например, если dim W dim V, то построение погружения V - W, гомотопного отображению /: V - W, эквивалентно построению погружения Е - W, где Е - тотальное пространство нормального расслоения к ТУ в f TW. [12]

Функции / о и / 1. [13]

Первые два примера в этой главе иллюстрируют гомотопический принцип Громова для открытых Diff V -инвариантных дифференциальных соотношений над открытыми многообразиями. [14]

Заметим еще, что любая триангуляция замкнутого многообразия состоит из конечного числа 7, в то время как для открытого многообразия число 7 бесконечно. Комбинаторная топология исходит из этого общего принципа при определении поверхностей, а также более общих пространств, которые она изучает. [15]

Страницы: 1 2 3