Cтраница 3
Другой путь, который дает больше информации для неод-носвязных пространств, состоит в тогл, чтобы рассматривать дополнительную фильтрацию многообразия М на открытые многообразия - объединения устойчивых многообразий периодических точек, причем добавление новых точек происходит в соответствии с отношением частичного порядка в направлении убывания. Эти открытые многообразия инвариантны относительно диффеоморфизма и имеют гомотопический тип конечных клеточных комплексов. Приятным геометрическим упражнением является проверка того обстоятельства, что при добавлении одного неустойчивого многообразия к плотному открытому многообразию описанной фильтрации с точки зрения теории гомотопий происходит добавление одной клетки к клеточному комплексу. [31]
Для них также можно определять числа Betti, но при этом может оказаться, что некоторые числа Betti приобретают бесконечное значение. Важность исследования открытых комплексов и, в особенности, открытых многообразий видна уже из того, что эвклидово пространство любого числа измерений есть, очевидно, открытое многообразие. [32]
Сфера имеет постоянную положительную кривизну, является компактным замкнутым ( без края) многообразием. Многообразиями нулевой гауссовой кривизны являются плоскость или конус, образованный прямыми, исходящими из одной точки ( конечной или бесконечной) и скользящими по произвольной гладкой кривой. Это - некомпактные ( без края) открытые многообразия. Но эта поверхность имеет окружность излома, состоящую из особых точек. [33]
Глобальным свойством некоторых многообразий является, например, их компактность. Такие многообразия называются замкнутыми в противоположность некомпактным многообразиям, называемым открытыми. Сфера и евклидова плоскость могут служить наиболее простыми примерами замкнутого и открытого двумерных многообразий. Тор служит примером замкнутого многообразия иного топологического типа, Чем сфера; тор, из которого исключено некоторое замкнутое множество, является примером открытого многообразия, тип которого отличен от евклидовой плоскости. [34]
Ограничимся случаем f ( z w) w2 - Pn ( z), где Pn ( z ] не имеет кратных корней. Поверхность Г задается в С2 как график w g ( z) / Pn ( z - Изучим поведение Г на бесконечности. Имеются разные способы придать этому понятию содержательный смысл. Опишем так называемую компактифитцию, позволяющую превращать некомпактные открытые многообразия в компактные многообразия, присоединяя край. Известно несколько способов компактифика-ции. [35]
Основное значение имеют бикомпактно открытая топология и ( если X метризуемо) тонкая С - топология, в к-рой окрестности тождества Of задаются строго положительными функциями /: X - - ( 0, оо), причем h ySl ( X) входит в Of, если p ( hx, x) f ( x) для всех х, где р - метрика в X. Однако группа У31 ( Х) не обязана быть топологической группой в этих топологиях, так как отображение h - - h - 1 не всегда непрерывно, и даже если это так, то УЯ ( Х) может не быть топологич. Но если X - многообразие, то УН ( X) является топологич. Однако такое изучение проведено далеко не полностью даже для простых многообразий. В частности, два достаточно близких гомеоморфизма соединимы изотопией. Для открытых многообразий, к-рые являются внутренностью компактных многообразий, это верно также и в бикомпактно открытой топологии. [36]