Cтраница 2
Условие dim т Ч - dim V dimX является решающим и, вообще говоря, не может быть ослаблено даже для открытого многообразия V. Однако это условие все же может быть ослаблено в некоторых важных частных случаях - см. теорему 14.2.1 ниже. [16]
Другой путь, который дает больше информации для неод-носвязных пространств, состоит в тогл, чтобы рассматривать дополнительную фильтрацию многообразия М на открытые многообразия - объединения устойчивых многообразий периодических точек, причем добавление новых точек происходит в соответствии с отношением частичного порядка в направлении убывания. Эти открытые многообразия инвариантны относительно диффеоморфизма и имеют гомотопический тип конечных клеточных комплексов. Приятным геометрическим упражнением является проверка того обстоятельства, что при добавлении одного неустойчивого многообразия к плотному открытому многообразию описанной фильтрации с точки зрения теории гомотопий происходит добавление одной клетки к клеточному комплексу. [17]
Множество 7 Cont открыто и Diff К-инвариантно, и потому из теоремы 10.3.1 вытекает следующий гомотопический принцип для ко-ориентированных контактных структур на открытых многообразиях. [18]
Другой путь, который дает больше информации для неод-носвязных пространств, состоит в тогл, чтобы рассматривать дополнительную фильтрацию многообразия М на открытые многообразия - объединения устойчивых многообразий периодических точек, причем добавление новых точек происходит в соответствии с отношением частичного порядка в направлении убывания. Эти открытые многообразия инвариантны относительно диффеоморфизма и имеют гомотопический тип конечных клеточных комплексов. Приятным геометрическим упражнением является проверка того обстоятельства, что при добавлении одного неустойчивого многообразия к плотному открытому многообразию описанной фильтрации с точки зрения теории гомотопий происходит добавление одной клетки к клеточному комплексу. [19]
Для симплектических погружений соответствующее дифференциальное соотношение является открытым ( в то время как изосимплектические погружения описываются замкнутым соотношением. Следовательно, для открытого многообразия V теорема 7.2.3 влечет параметрический / г-принцип для симплектических погружений, а из теоремы 4.5.1 следует теорема о направленных симплектических вложениях. [20]
Как и в симплектическом случае, условие контактности является открытым, в то время как условие изоконтактности замкнуто. Следовательно, для открытого многообразия V теорема 10.3.2 влечет параметрический / z - принцип для контактных погружений, а из теоремы 4.5.1 еле-1 дует теорема о направленных контактных вложениях. [21]
Таким путем может быть получено большое число различных открытых многообразий. Здесь имеются глубокие результаты В. Терстопа [249], дающие решение проблемы для некоторых частных случаев. Многообразия такого вида приведены в примерах § 5 гл. [22]
Невольно возникает сомнение, окажется ли обобщение У-си-стем на открытые многообразия плодотворным. Быть может, лучше модифицировать определение, включив какие-то дополнительные требования. [23]
Множество 7 Symp открыто и Diff К-инвариантно. Следовательно, применяя теорему 10.2.1, мы получаем следующий гомотопический принцип для симплектических форм на открытых многообразиях. [24]
Пусть и - некоторое компактное многообразие с границей со, Е и F - два бесконечно дифференцируемых векторных пучка на И, а Р - эллиптический дифференциальный оператор порядка т из Е в F с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами. Как и в § 2.2, мы можем предположить, что Е, F и Р определены на открытом многообразии М, содержащем Q в качестве компактного подмножества. [25]
МакДафф 14.2.3 для максимально неинтегрируемых распределений касательных гиперплоскостей можно вывести из двух / г-принципов Громова: 10.3.2 для контактных структур на открытых многообразиях и 14.2.1 для отображений замкнутых многообразий, трансверсальных контактной структуре. [26]
Итак, мы указали в R3 ( по крайней мере локально) поверхности постоянной положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизны. Многообразие постоянной положительной кривизны ( сфера) является компактным и замкнутым ( без края) многообразием; многообразие нулевой кривизны ( плоскость или конус, образованный семейством прямых, исходящих из одной точки, конечной или бесконечной, и скользящих по произвольной гладкой плоской кривой 7 B К3) является некомпактным ( без края) открытым многообразием. Предъявленное нами многообразие отрицательной постоянной кривизны отличается от предыдущих двух примеров тем, что эта поверхность не является замкнутым многообразием и не может быть продолжена на бесконечность. [27]
Для них также можно определять числа Betti, но при этом может оказаться, что некоторые числа Betti приобретают бесконечное значение. Важность исследования открытых комплексов и, в особенности, открытых многообразий видна уже из того, что эвклидово пространство любого числа измерений есть, очевидно, открытое многообразие. [28]
Кроме того, из доказательства теоремы 11.1 следует, что если U cz D 1 3 - некоторый малый диск с центром в точке да, то часть пространства М - да, лежащая над. Поэтому в силу 11.1 и 11.2 просфанспзо И - ш - стягиваемое открытое многообразие, одно-связное на бесконечности. Если k и 2 имеет конечное число диких точек, то, очевидно, достаточно показать, что в окрестности каждой из этих точек М является многообразием. [29]
Связаны с гипотезой Пуанкаре исследования по трехмерным стягиваемым открытым многообразиям. В работе Кистера и Макмиллана [170] показывается, что некоторый пример, предложенный Бингом, удовлетворяет второму из этих свойств, но не удовлетворяет первому. Далее, Макмиллан показывает, что способ Уайтхеда, которым был построен первый пример стягиваемого открытого многообразия ( не Е3), является в некотором смысле общим для всех тех из них, компактные подмножества которых вложимы в Е3: они представляются в виде растущей суммы полных кренделей, причем каждый контур в каждом из них стягивается в точку в последующих. [30]