Cтраница 3
Очевидно, что многочлен Рп ( х), реализующий минимум интеграла ( 1), существует, какова бы ни была непрерывная функция / ( х) мы ограничимся рассмотрением случаях, когда / ОН-1) ( х) 0 в рассматриваемом отрезке; многочлен наилучшего приближения в среднем может быть тогда определен весьма изящным и простым образом. [31]
В этом случае часто полезно вместо непосредственного вычисления значений функции воспользоваться интерполяцией ее значений по таблице или приблизить функцию многочленом. Иногда для этой цели используют многочлены наилучшего приближения в норме L2 или наилучшего равномерного приближения. Конечно, в каждом конкретном случае полезно посмотреть, оправдают ли себя затраты по построению приближающего многочлена. [32]
В случае существования и единственности многочлена наилучшего приближения возникает задача его построения. Точное ее решение возможно лишь в отдельных случаях. [33]
Здесь мы не требуем, чтобы En ( f, Qn) было наименьшим отклонением. Этим свойством часто удается воспользоваться для фактического отыскания многочленов наилучшего приближения. [34]
Подойти к проблеме с этой стороны впервые отважился Балле Пуссен. Было бы слишком длинно излагать его общий метод определения многочленов наилучшего приближения. Я ограничусь указанием следующей теоремы, применение которой ведет непосредственно к получению нижних границ для наилучшего приближения. [35]
Такой многочлен Q n ( x) называют многочленом наилучшего равномерного приближения. Далее будут установлены необходимые и достаточные условия того, чтобы многочлен являлся многочленом наилучшего приближения для непрерывной функции. [36]
Очевидно, что нижние границы, которые будут найдены при помощи этой теоремы, существенно зависят от выбора узлов. В частности, существует такое специальное расположение узлов, при котором многочлен Rn ( x) будет как раз многочленом наилучшего приближения, и понятно, что, чем ближе к этому расположению будут выбранные узлы, тем меньше будет найденная нижняя граница отличаться от наилучшего приближения. Метод Балле Пуссена не дает указания, как произвести выбор, и в этом-то пункте он и должен быть дополнен. [37]
Элементы обратной матрицы будут велики, поскольку оси 1, х, х2 далеко не перпендикулярны. Даже для современной ЭВМ ситуация становится безнадежной, если мы добавим еще несколько осей; решить систему нормальных уравнений АгАхАТЬ для отыскания многочлена наилучшего приближения десятой степени практически невозможно. [38]
Пусть требуется приблизить х3 на [ - 1,1] многочленом наилучшего приближения первой степени. Предшествующим результатом можно воспользоваться двояко. Второй путь: поскольку для данной задачи многочлен наилучшего приближения второй степени оказывается многочленом первой степени, то исходная задача эквивалентна задаче построения многочлена наилучшего приближения второй степени. [39]
Vin a) - Из конечного числа значений р выбираем наибольшее. Уг 2, Для которой р имеет максимальное значение, будет давать альтернанс для / ( х) на G, и построение многочлена наилучшего приближения к / ( х) на G сводится к построению многочлена наилучшего приближения к / ( х) на множестве из этих ( 4 - 2) - х точек. Построение этого многочлена мы уже описали. [40]
Пусть требуется приблизить х3 на [ - 1,1] многочленом наилучшего приближения первой степени. Предшествующим результатом можно воспользоваться двояко. Второй путь: поскольку для данной задачи многочлен наилучшего приближения второй степени оказывается многочленом первой степени, то исходная задача эквивалентна задаче построения многочлена наилучшего приближения второй степени. [41]
Vin a) - Из конечного числа значений р выбираем наибольшее. Уг 2, Для которой р имеет максимальное значение, будет давать альтернанс для / ( х) на G, и построение многочлена наилучшего приближения к / ( х) на G сводится к построению многочлена наилучшего приближения к / ( х) на множестве из этих ( 4 - 2) - х точек. Построение этого многочлена мы уже описали. [42]
Пусть требуется приблизить функцию f ( x) х3 на отрезке [- 1, 1] многочленом наилучшего приближения первой степени. Предшествующим результатом можно воспользоваться двояко. Один путь: поскольку искомый многочлен наилучшего приближения будет нечетным, то его достаточно отыскивать среди многочленов вида Qi ( x) оцх. Второй путь: поскольку многочлен наилучшего приближения второй степени для данной задачи оказывается многочленом первой степени, то исходная задача эквивалентна задаче построения многочлена наилучшего приближения второй степени. [43]
Пусть требуется приблизить функцию f ( x) х3 на отрезке [- 1, 1] многочленом наилучшего приближения первой степени. Предшествующим результатом можно воспользоваться двояко. Один путь: поскольку искомый многочлен наилучшего приближения будет нечетным, то его достаточно отыскивать среди многочленов вида Qi ( x) оцх. Второй путь: поскольку многочлен наилучшего приближения второй степени для данной задачи оказывается многочленом первой степени, то исходная задача эквивалентна задаче построения многочлена наилучшего приближения второй степени. [44]