Cтраница 2
Средством приближения являются специально строящиеся по указанным значениям многочлены, называемые многочленами Тейлора данной функции. [16]
Погрешность, которую мы допускаем при замене функции ( суммы ряда) на многочлен Тейлора, можно узнать, оценивая остаточный член ряда. [17]
Легко видеть, что эти отображения ( отображения забывания членов степени k в многочлене Тейлора) - гомоморфизмы, а их ядра - коммутативные группы. [18]
Погрешность, которую мы допускаем при замене функции ( суммы ряда), на многочлен Тейлора, можно узнать, оценивая остаточный член ряда. [19]
Существенно неравномерная на отрезке [ а, Ь ] точность аппроксимации функции f является недостатком многочлена Тейлора. Другой недостаток состоит в том, что для построения многочлена Тейлора требуется находить у функции / производные высоких порядков. Тем не менее многочлены Тейлора, в частности отрезки рядов Тейлора, тоже являющиеся многочленами Тейлора, широко используются на практике для аппроксимации функций, у которых достаточно просто вычисляются старшие производные, а остаточный член ( правая часть неравенства ( 5)) стремится к нулю при п - - оо. [20]
Многочлены ( относительно h x - а), стоящие в правых частях, называются многочленами Тейлора. Они дают в некотором смысле наилучшее приближенное выражение функции /; ( х) в виде многочлена данной степени вблизи значения х а. Именно, среди всех многочленов этой степени многочлен Тейлора отличается от, ( х) на величину наивысшего порядка малости при х - а. [21]
Другой способ рассматривать n - е продолжение pr f ( r) состоит в том, чтобы представлять его многочленом Тейлора степени п функции f в точке х, поскольку производные порядка sgCn определяют многочлен Тейлора и наоборот. [22]
Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции г / гг7 ПРИ - 2 и построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3 - й степени. [23]
Мы записали здесь остаточный член в виде о ( х2п 2), а не в виде о ( л2 а), так как следующий за последним выписанным слагаемым член многочлена Тейлора в силу (13.15) равен нулю. [24]
Другой способ рассматривать n - е продолжение pr f ( r) состоит в том, чтобы представлять его многочленом Тейлора степени п функции f в точке х, поскольку производные порядка sgCn определяют многочлен Тейлора и наоборот. [25]
Даны я и я, найти ( й ( я, я); иными словами, найти оценку сверху для ошибки, получающейся при замене функции f ( x) на интервале ( а, я я) ее многочленом Тейлора й-й степени. [26]
Струя ( многочлен Тейлора) голоморфной функции в 0 достаточна, если она определяет функцию с точностью до эквивалентности. [27]
Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям этой теоремы в окрестности некоторой точки, заменить многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности при этом дается величиной остаточного члена. [28]
Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям этой теоремы заменить, в окрестности некоторой точки, многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности дается при этом остаточным членом. [29]
В дополнение к этому геометрическому подходу авторы подчеркивают аналитический подход, строя свое изложение основ теории как естественное развитие классического анализа в его собственных рамках, связанное с поиском ответа на два вопроса. Во-первых, какие многочлены Тейлора определяют функцию с точностью до дифференцируемой замены координат. Во-вторых, если многочлен обладает таким свойством, то сколько нужно взять параметров его локальной деформации ( и как ее построить), чтобы любое конеч номерное семейство гладких функций, содержащее этот многочлен, могло быть получено из этой универсальной деформации с помощью надлежащей локальной замены координат. Оказалось, что при числе параметров, меньшем пяти, удается построить небольшой список многочленов ( семь катастроф Тома), к которым приводится локальными заменами в окрестности начала почти любая функция со своими деформациями. Этот список независимо был получен В. И. Арнольдом, который развил его теперь в широкую классификацию. [30]