Cтраница 3
Существенно неравномерная на отрезке [ а, Ь ] точность аппроксимации функции f является недостатком многочлена Тейлора. Другой недостаток состоит в том, что для построения многочлена Тейлора требуется находить у функции / производные высоких порядков. Тем не менее многочлены Тейлора, в частности отрезки рядов Тейлора, тоже являющиеся многочленами Тейлора, широко используются на практике для аппроксимации функций, у которых достаточно просто вычисляются старшие производные, а остаточный член ( правая часть неравенства ( 5)) стремится к нулю при п - - оо. [31]
Разумеется и здесь встает вопрос о величине ошибки этого приближенного равенства. Однако эта задача более сложная, чем при замене функции многочленом Тейлора, и мы касаться ее не будем. [32]
Простейшими функциями действительной переменной являются многочлены. Одним из многочленов, аппроксимирующих функцию f ( x), является многочлен Тейлора, для построения которого необходимо знать п производных функции f ( x) в точке дго, что не всегда возможно. Другой путь построения аппроксимирующего многочлена Рп ( х) состоит в следующем. [33]
Существенно неравномерная на отрезке [ а, Ь ] точность аппроксимации функции f является недостатком многочлена Тейлора. Другой недостаток состоит в том, что для построения многочлена Тейлора требуется находить у функции / производные высоких порядков. Тем не менее многочлены Тейлора, в частности отрезки рядов Тейлора, тоже являющиеся многочленами Тейлора, широко используются на практике для аппроксимации функций, у которых достаточно просто вычисляются старшие производные, а остаточный член ( правая часть неравенства ( 5)) стремится к нулю при п - - оо. [34]
Многочлены ( относительно h x - а), стоящие в правых частях, называются многочленами Тейлора. Они дают в некотором смысле наилучшее приближенное выражение функции /; ( х) в виде многочлена данной степени вблизи значения х а. Именно, среди всех многочленов этой степени многочлен Тейлора отличается от, ( х) на величину наивысшего порядка малости при х - а. [35]
Кратное интерполирование осуществляют интерполяционные полиномы Эрмита, частным случаем к-рых является многочлен Тейлора, когда в одной точке алгебраич. [36]
Существенно неравномерная на отрезке [ а, Ь ] точность аппроксимации функции f является недостатком многочлена Тейлора. Другой недостаток состоит в том, что для построения многочлена Тейлора требуется находить у функции / производные высоких порядков. Тем не менее многочлены Тейлора, в частности отрезки рядов Тейлора, тоже являющиеся многочленами Тейлора, широко используются на практике для аппроксимации функций, у которых достаточно просто вычисляются старшие производные, а остаточный член ( правая часть неравенства ( 5)) стремится к нулю при п - - оо. [37]