Cтраница 3
В частности, минимальный многочлен определен однозначно. [31]
Если рл - минимальный многочлен оператора А, то рле /, поэтому р, - делитель рл. [32]
А: имеет квадратичный минимальный многочлен на Q. Таким образом, если также 0 / 7 ( Х) 1, то X не является линейно р-устойчивой. Приведенные замечания служат мотивировкой следующего определения. [33]
Доказать, что минимальный многочлен клеточно-диагональной матрицы равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов ее клеток. [34]
Оказывается, степень минимального многочлена не превосходит га, потому что характеристический многочлен матрицы А является аннулирующим многочленом. [35]
Пусть, обратно, минимальный многочлен т ( х) матрицы А удовлетворяет условию теоремы. Тогда все его элементарные делители имеют первую степень. Следовательно, все элементарные делители матрицы хЕ - А имеют первую степень, все клетки Жордана матрицы А первого порядка, жорда-нова нормальная форма матрицы А диагональна. [36]
Полезно отметить, что минимальный многочлен не u teem кратных корней; в частности, само число ос является его простым корнем. В самом деле, будучи неприводим в кольце Q [ х ], многочлен ра взаимно прост со своей произпод-ной. Следовательно, многочлен ра не имеет кратных корней в поле С ( см. § 2 гл. [37]
Каждая матрица А имеет единственный минимальный многочлен. [38]
Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора А в пространстве V является произведением взаимно простых многочленов д ( х) и д ( х), то V может быть разложено в прямую сумму двух инвариантных подпространств таких, что ограничения оператора А на эти подпространства имеют минимальные многочлены gi ( x ] и дъ ( х) соответственно. [39]
Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора А является неприводимым многочленом степени / с, то для любого х ф 0 векторы ж, Ах... Ak - lx составляют базис минимального инвариантного подпространства. [40]
Здесь Яг есть корень минимального многочлена Проделав указанные вычисления для всех корней мы получим несколько собственных векторов, которые могут не образовать полную систему независимых собственных векторов А. [41]
В случае действительных корней минимального многочлена полученные соотношения можно рассматривать итоговые. Действительно, при этом выполняется неравенство А ф AJ, имеющее своим следствием линейную независимость строк матрицы М, что означает отличие ее определителя от нуля. Вследствие этого матрица М имеет обратную матрицу. [42]
Этот многочлен будет называться минимальным многочленом эндоморфизма А над k и будет обозначаться через () A ( t) - Разумеется, он не обязательно неприводим. [43]
Следовательно, он является минимальным многочленом числа а. [44]
Матрица А невырождена и ее минимальный многочлен p ( h) совпадает с характеристическим. [45]