Cтраница 2
Всякая матрица А служит корнем некоторого ненулевого многочлена. [16]
Очевидно, Р ( X) - ненулевой многочлен и, следовательно, существует элемент с. [17]
В являющееся частным от деления многочлена А на ненулевой многочлен В. [18]
Обе стороны этого соотношения являются многочленами относительно г. Ненулевой многочлен степени п не может иметь больше чем п различных нулей; поэтому ( как получается вычитанием) если два многочлена степени; п совпадают в п - f - 1 или более различных точках, то многочлены тождественно равны. [19]
Число называют алгебраическим, если оно является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами. [20]
Отметим, что среди многочленов, ассоциированных с данным ненулевым многочленом, имеется ровно один нормированный многочлен. [21]
Предложение 21.1. Для любой квадратной матрицы существует аннулирующий ее ненулевой многочлен. [22]
Комплексное число называется алгебраическим, если оно является корнем ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами, и трансцендентным в противном случае. [23]
Понятия многочлена, в частности многочлена стандартного вида, и ненулевого многочлена вводятся, как обычно. Однако мы придерживаемся алгебраической точки зрения: буквы у нас не обязательно числа, обозначенные буквами. Методическая выгода этой точки зрения сказывается в особенности при рассмотрении алгебраических дробей. Алгебраическая дробь определяется как отношение одного многочлена к другому, отличному от нулевого. Перечисляются правила, которым подчиняются многочлены и алгебраические дроби. В частности, одно из правил гласит, что алгебраическую дробь можно сокращать на ненулевой многочлен. [24]
Число а называется алгебраическим над Р, если оно является корнем ненулевого многочлена из Р [ х ], и трансцендентным над Р в противном случае. [25]
Обратим внимание на то, что знаменатель дроби ( 2) есть ненулевой многочлен. Однако его значение при равных между собой значениях х и у обращается в нуль. Но имеется много пар числовых значений х и у, для которых знаменатель не обращается в нуль. Для каждой такой пары наша дробь имеет числовое значение, т.е. определена. [26]
Дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножаются на один и тот же ненулевой многочлен или сокращаются на любой общий множитель, В частности, целое число ( положительное или отрицательное) deg / - deg не зависит от представления ненулевой рациональной дроби в виде отношения ( частного) f / g двух многочленов. Это число называется степенью дроби. Рациональная дробь от переменной X называется несократимой, если ее числитель взаимно прост со знаменателем. С точностью до множителя из Р, общего для числителя и знаменателя, любая рациональная дробь f / g однозначно определяется некоторой несократимой дробью. [27]
Дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножаются на один и тот же ненулевой многочлен или сокращаются на любой общий множитель. В частности, целое число ( положительное или отрицательное) deg / - degg не зависит от представления ненулевой рациональной дроби в виде отношения ( частного) f / g двух многочленов. Это число называется степенью дроби. Рациональная дробь от переменной X называется несократимой, если ее числитель взаимно прост со знаменателем. [28]
Но этого быть не может, ибо, как легко доказать индукцией по п, ненулевой многочлен всегда принимает хотя бы одно ненулевое значение. Однако этот результат неверен, если вместо поля вещественных чисел рассматривать конечные поля. [29]
А), должны занимать последнее место, так как нуль не может быть делителем никакого ненулевого многочлена. С другой стороны, если среди этих функций имеются отличные от нуля числа, то все они должны быть равными единице и располагаться в начале цепочки. [30]