Cтраница 3
Равенство ( 2) означает, что если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей алгебраическая дробь. Это есть основное свойство алгебраической дроби. [31]
Пусть А - квадратная матрица порядка п, элементы которой - многочлены от переменной t, и det A - ненулевой многочлен. [32]
Остальные ( ненулевые) многочлены могут обращаться в нуль только при определенных числовых значениях букв, но не тождественно, т.е. для каждого ненулевого многочлена существуют числовые значения букв, при которых многочлен не обращается в нуль. [33]
О, старшин коэффициент этого многочлена равен 1 и н и к а к о и комб и нацией элементарных п р е о 5 р а з о-в а н и и н с л ь з я п е р е и т п от полученной матрицы к такой матрице, в левом верхнем углу которой стоял бы ненулевой многочлен м е н ь ш ей степени. [34]
Действительно, в числителе 0 можно заменить на О - В, а в знаменателей заменить на 1 В, потому что Q-B Qn-BB. Далее, пользуясь тем, что В есть ненулевой многочлен, можно на основании основного свойства алгебраической дроби полученную дробь сократить на В. [35]
Пусть алгебра В не имеет делителей нуля. Элемент и В называется алгебраическим над А, если существует такой ненулевой многочлен f A [ X ], что / ( и) 0, и трансцендентным над А - в противном случае. Алгебра В называется алгебраическим расширением алгебры А, если каждый ее элемент алгебраичен над А. [36]
Для единственности также есть другое доказательство: пусть два многочлена ( имеющие степень 1 по каждой переменной) равны при всех значениях переменных. Тогда их сумма ( или разность - вычисления происходят по модулю 2) является ненулевым многочленом ( содержит какие-то мономы), но тождественно равна нулю. Так не бывает, и это легко доказать по индукции. [37]
Тогда, в силу условия ( 3) мы заключаем, что 8 / - ненулевой многочлен Лорана. [38]
Понятия многочлена, в частности многочлена стандартного вида, и ненулевого многочлена вводятся, как обычно. Однако мы придерживаемся алгебраической точки зрения: буквы у нас не обязательно числа, обозначенные буквами. Методическая выгода этой точки зрения сказывается в особенности при рассмотрении алгебраических дробей. Алгебраическая дробь определяется как отношение одного многочлена к другому, отличному от нулевого. Перечисляются правила, которым подчиняются многочлены и алгебраические дроби. В частности, одно из правил гласит, что алгебраическую дробь можно сокращать на ненулевой многочлен. [39]