Cтраница 3
Отсюда следует, ввиду основной теоремы о симметрических многочленах, что коэффициенты многочлена g ( x) будут многочленами ( с действительными коэффициентами) от коэффициентов заданного многочлена f ( x) и поэтому сами будут действительными числами. Поэтому, по предположению индукции, хотя бы один из корней Р -, многочлена g ( х) должен бмть комплексным числом. [31]
В частности, отсюда вытекает, что всякий симметрический многочлен является суммой однородных симметрических многочленов. [32]
Непосредственно видно, что: а) сумма симметрических многочленов - симметрический многочлен; б) произведение симметрических многочленов - симметрический многочлен. [33]
Можно показать, что л ю б о и симметрический многочлен f ( x, у) может быть выражен через симметрические многочлены o1 xjry и а ху. [34]
Непосредственно видно, что а) сумма симметрических многочленов - симметрический многочлен; б) произведение симметрических многочленов - симметрический многочлен. [35]
Эти многочлены, симметричность которых очевидна, играют в теории симметрических многочленов очень большую роль. Они подсказаны формулами Вьета ( см. § 24), и поэтому можно сказать, что коэффициенты многочлена от одного неизвестного, алеющего старшим коэффициентом единицу, будут, с точностью до знака, элементарными симметрическими многочленами от его корней. Эга связь элементарных симметрических многочленов с формулами Вьета будет весьма существенна для тех применений симметрических многочленов к теории многочленов от одного неизвестного, ради которых мы сейчас их изучаем. [36]
Докажите, что любой многочлен от симметрических многочленов также является симметрическим многочленом. [37]
Непосредственно видно, что: а) сумма симметрических многочленов - симметрический многочлен; б) произведение симметрических многочленов - симметрический многочлен. [38]
ХП ] имеет вид / Дп д, где д - симметрический многочлен. [39]
Доказать, что значение от корней степени п из 1 всякого симметрического многочлена от п переменных с целыми коэффициентами является целым числом. [40]
Когда А пробегает все такие разбиения, получается базис в пространстве симметрических многочленов. [41]
Докажите, что если сумма двух однородных многочленов разных степеней является симметрическим многочленом, то каждый из них также является симметрическим многочленом. [42]
Таким образом, задача сводится к выражению S ( v) через элементарные симметрические многочлены. [43]