Cтраница 2
Kf ( x), а его корни xlz IrhKs являются двукратными корнями заданного многочлена. [16]
Существует несколько различных доказательств основной теоремы о симметрических многочленах, а соответственно и методов выражения заданного многочлена / через элементарные симметрические многочлены. [17]
Из школьного курса алгебры известно, что всякий многочлен Р ( г) можно разделить на любой заданный многочлен Q ( z) с остатком. [18]
По определению число ш ( / а) положительных корней многочлена / а равно числу корней заданного многочлена /, больших, чем а. [19]
Примером может служить 10-я проблема Гильберта, состоящая в построении алгоритма, к-рый позволил бы для любого заданного многочлена с целыми коэффициентами узнать, существуют ли целые значения переменных, обращающие этот многочлен в нуль. Многие массовые проблемы долгое время не поддавались решению; впоследствии оказалось, что трудность их решения имеет принципиальный характер. [20]
Прямая и обратная задачи Галуа весьма трудоемки в том смысле, что вычисление Gal ( /) для явно заданного многочлена / Е Q [ X ] или, напротив, поиск многочлена с предписанной группой Галуа G даже при сравнительно небольших deg / и G требует больших усилий со стороны человека, вооруженного компьютером. [21]
Получив этот новый квадратный трехчлен этим итерационным процессом, если остатки г и га не равны нулю, надлежит снова разделить заданный многочлен изложенным выше табличным способом, - подставив туда все полученные предыдущим приближением значения коэффициентов квадратного трехчлена. [22]
Если максимальная степень полученного многочлена превышает заданную разрядность, то необходимо произвести второй этап символического умножения, заключающийся в делении полученного произведения на заранее заданный многочлен. При этом окончательным результатом является остаток от деления. [23]
Сначала, работая по модулю у - 0, мы получаем qa ( x) x -; это не есть общий делитель заданных многочленов, поэтому процесс вычисления следует продолжить. Нашим новым пробным делителем d ( х) будет многочлен х - - у, ибо он qi ( х) ( modulo у - /) для / 1, 2, и проверка показывает, что d ( x) подходит. [24]
Обобщение: может ли существовать такой многочлен А, кратный В, чтобы А - 1 было кратно С, где В и С - заданные многочлены. [25]
Сначала мы можем свести случай бесконечного множества многочленов к конечному множеству, потому что каждый элемент а из поля зависит лишь от корней конечного множества заданных многочленов и мы можем при доказательстве нормальности, рассматривая разложение неразложимого многочлена, один из корней а которого содержится в данном поле, ограничиться конечным множеством этих корней. [26]
Отсюда следует, ввиду основной теоремы о симметрических многочленах, что коэффициенты многочлена g ( x) будут многочленами ( с действительными коэффициентами) от коэффициентов заданного многочлена f ( x) и поэтому сами будут действительными числами. Поэтому, по предположению индукции, хотя бы один из корней Р -, многочлена g ( х) должен бмть комплексным числом. [27]
Поэтому принято в таком случае делить результат алгоритма на его старший коэффициент, получая таким образом нормированный многочлен, который и имеется в виду, когда говорят просто о наибольшем общем делителе двух заданных многочленов. [28]
Крайние из этих лучей вместе с вертикалями А 4; Л 2 и отрезком параболы, образуют неправильной формы многоугольник MNPQR, внутри которого, как мы знаем, и должно располагаться одно из собственных решений ( Ах, Вх), удовлетворяющее делению заданного многочлена нацело. [29]
Вот почему мы принуждены искать другие ( также приближенные) способы, которые хотя и не позволяли бы автоматически по одному приближению находить другое, но давали бы оценку, насколько близко и, что самое главное, с какой стороны мы приближаемся к собственным значениям А к В коэффициентов квадратного трехчлена, делящего нацело заданный многочлен четной степени. [30]