Cтраница 3
Расширение, в котором заданный многочлен имеет корень. [31]
В § 159 был изложен метод выделения квадратов, дающий цепь линейных подстановок, приводящих любой ( вообще говоря, неоднородный) многочлен второй степени от трех переменных к одному из семнадцати простейших многочленов, перечисленных в формулированной там теореме. Но в том случае, когда заданный многочлен - однородный, все подстановки метода выделения квадратов - также однородные. А в этом и состоит утверждение нашей теоремы. [32]
Однако так поставленная задача в общем виде очень трудна. В частности, нередко бывает трудно ответить на вопрос: разложим заданный многочлен или неразложим. Полное решение этой задачи выходит за пределы школьной программы. [33]
В различных областях математики возникают проблемы, в к-рых требуется найти единую механич. Примером может служить 10-я проблема Гильберта, состоящая в построении алгоритма, к-рый позволил бы для любого заданного многочлена с целыми коэффициентами узнать, существуют ли целые значения переменных, обращающие этот многочлен в нуль. Многие массовые проблемы долгое время не поддавались решению и оказалось, что трудность их решения имеет принципиальный характер. [34]
Если же мы дойдем до такого остатка, который не равен нулю и степень которого ниже степени делителя, то это будет означать, что частное от деления первоначально заданных многочленов не может быть целым многочленом. [35]
В начале алгоритма А переменные Р и Q указывают на корни двух деревьев. Пусть Р и 0 обозначают значения Р и Q перед выполнением алгоритма А. Всегда ли после окончания алгоритма Q0 является адресом корня суммы двух заданных многочленов. [36]
Как, казалось бы, ни проста по своей идее эта операция, выполнение ее на практике довольно затруднительно из-за громоздкости вычислений. Кроме того, эта операция оправдывала бы себя только в том случае, если бы мы осуществляли ее над полиномом, действительно имеющим кратные корни, которые мы при этом и определяли бы; в противном случае мы, убедившись в конце вычислений в отсутствии кратных корней, проделали бы бесполезную работу. Кроме того, при решении уравнений четных степеней ( что мы неоднократно подчеркивали) целесообразно искать не самые корни, а квадратные трехчлены, нацело делящие заданный многочлен. [37]
Каждому элементу а из Д соответствует ровно один неразложимый многочлен р х - а и, следовательно, одно р-адическое нормирование. Его называют нормированием, соответствующим точке а, потому что в случае комплексных чисел можно рассматривать а как точку на комплексной плоскости. В этом нормировании многочлен имеет значение т, если он делится в точности на ( х - а) т или, другими словами, при условии, что а является корнем т-го порядка заданного многочлена. [38]
Предположим, что функция f ( x) сама есть многочлен л-й степени. После п дифференцирований мы получим постоянную величину и все последующие производные будут равны нулю. Это, разумеется, можно было предвидеть и заранее, так как мы попросту располагаем заданный многочлен по степеням разности л; - хй. [39]
Предположим, что функция f ( x) сама есть многочлен л-й степени. После п дифференцирований мы получим постоянную величину и все последующие производные будут равны нулю. Это, разумеется, можно было предвидеть и заранее, так как мы попросту располагаем заданный многочлен по степеням разности х - хй. [40]