Cтраница 2
Это и есть интерполяционная формула или интерполяционный многочлен Ньютона. [16]
Выражение (8.12) дает окончательный вид второго интерполяционного многочлена Ньютона. [17]
Доказательство теоремы 4 использует новую технику возмущений диффеоморфизмов интерполяционными многочленами Ньютона. [18]
Эта форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа и носит название интерполяционного многочлена Ньютона для неравных промежутков. Она более удобна для вычислений, чем формула Лагранжа. Добавление одного или нескольких узлов не приводит к повторению всей проделанной работы заново, как это было при вычислениях по формуле Лагранжа. [19]
Интерполяционный многочлен, записанный в такой форме, называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями. [20]
Интерполяционный многочлен, записанный в такой форме, называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями. [21]
Интерполяционные многочлены ( 25) и ( 26) называются интерполяционными многочленами Ньютона для равных промежутков. [22]
Интерполяционный полином Рп ( х), записанный в виде ( 21), называется интерполяционным многочленом Ньютона для произвольных узлов интерполяции. [23]
Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона внешне записываются так же, как и для действительной области, причем интерполяционный многочлен Ньютона записывается в форме (4.51) с использованием разделенных разностей. Остаточные члены интерполяционных формул могут быть вычислены методами интегрального исчисления теории функций комплексного переменного. [24]
Например, если выбрать узлы ха, хг, хг, х3, д 4 и воспользоваться первым интерполяционным многочленом Ньютона ( см. гл. [25]
Согласно (8.4), (7.7) при условии, если h мало, а функция f достаточно гладкая, текущее слагаемое в выражении ( 4) интерполяционного многочлена Ньютона приблизительно равно погрешности интерполяции многочленом, составленным из всех предшествующих слагаемых. Это замечание относится и к интерполяционному многочлену ( 5) для интерполяции назад. [26]
Второй многочлен Ньютона применяется при интерполяции вблизи конца таблицы. Применяя интерполяционные многочлены Ньютона, мы пользуемся данными таблицы, лежащими по одну сторону от участка интерполяции, когда этот участок расположен либо в начале, либо в конце таблицы. Если же по обе стороны от участка интерполяции имеется достаточное количество соответствующих значений х и ц, то многочлены Ньютона следует признать непригодными, ибо игнорирование значений функции слева и справа от участка интерполяции ведет к потере части информации, что снижает точность интерполяции. Чтобы этого избежать, используют интерполяционные многочлены, содержащие разности горизонтальных строк, соответствующих участку интерполяции. [27]
Однако, чем выше порядок матрицы, тем менее выгоден метод интерполяции. Во-вторых, при составлении интерполяционного многочлена Ньютона вычисляются разделенные разности, что при высоких порядках приводит к большой потере точности. Поэтому при nj 10 ( а в случае кратных или близких собственных значений и при меньших п) метод интерполяции дает плохие результаты. Для матриц высокого порядка применяют более сложные, но зато более устойчивые и экономичные методы, изложенные в следующих параграфах. [28]
Интерполяционный многочлен Ньютона ( 1) выражается не через значения функции /, а через ее разделенные разности. При изменении степени п у интерполяционного многочлена Ньютона требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых. Это удобно на практике. [29]
Поэтому для вычисления приближенных значений с высокой точностью в произвольной точке области определения решения исходной задачи следует использовать интерполяцию. Рассмотрим простейшую ситуацию с применением интерполяционных многочленов Ньютона. [30]