Множество - множество
Cтраница 2
Желая избежать неприятного масла масленного, мы будем, используя указанный в § 1 синоним, вместо множества множеств предпочитать говорить о системе множеств. Заметим, что по нашему словопониманию пустое множество также является системой множеств. [16]
Реализованная в языке Паскаль концепция типов кажется слишком сильно отличающейся от слишком строгой интерпретации слова тип, основанной на его использовании в мире математики, где концепция типов обеспечивает возможность различать числа и булевские значения, числа и множества чисел, множества и множества множеств, но не обеспечивает возможность выявить различия целых и натуральных чисел ( последние представляют собой поддиапазон первых) или маленьких и больших множеств. В программировании расширение математической концепции типов и естественно и необходимо, поскольку объекты могут различаться ( по типам) по намного большему числу признаков ( детализации), чем в абстрактной математике, в которой отсутствуют, например, проблемы, связанные с представлением различных значений. [17]
 |
Взаимно однозначное отображение реакционных графов на дискретную топологию множества мощности Р ( М с М ( 1, 2, 3 ]. Чтобы различать ребраЗ нО, используются соответственно жирные и тонкие линии. [18] |
Исходя из того факта, что множества ребер графов, полученные в рамках Х - модели [3], образуют топологию, которая эквивалентна топологии множества мощности из трех элементов, и учитывая, что для соответствующего топологического пространства действительна аксиома Г - разделения, можно упорядочить множество множеств ребер или соответствующие графы относительно их окрестностей. Это может быть достигнуто введением теоретико-множественного включения в качестве частичного упорядочивания. [19]
Поскольку Цермело рассматривал два эквивалентных множества множеств ( у Жегалкина было два множества кардинальных чисел), а Кениг - одну последовательность множеств ( у Жур-дена соответственно одно множество кардинальных чисел), то он посчитал целесообразным получить следствие своей теоремы, являющееся обобщением именно формулировки Кенига в ток смысле, что счетная последовательность множеств заменяется некоторым множеством множеств. [20]
Арцела разбивал рассматриваемое семейство на счетное ( множество множеств, выбирал в каждом из них по функции и из выбранных представителей образовывал последовательность, сходящуюся к искомой функции. [21]
В целях избежания связанных с этим трудностей были предложены различные средства ( модификации наивной теории множеств), в частности типов теория Рассела. Однако и в этом случае определение объединения множества множеств оказывается непреднкативпым, так как объединение может ( н даже должно) принадлежать тому же типу, что и объединяемые множества. Между тем при теоретико-множественном обосновании математического анализа одна из важнейших теорем теории пределов - а именно, теорема Вейер-штрасса о существовании предела у огранич. [22]
V; если же существуют и биективное отображение множества М на часть множества А и биективное отображение множества N на часть множества М ( в этом последнем случае обязательно существует и биективное отображение М на Л), то говорят, что мощности множеств М и N одинаковы ( что множества М и N равно мощны); в этом последнем случае в отношении понятия мощности множества М и jV не различаются. Таким образом, отношение порядка вводится в фактормножестве множества множеств по отношению равномощности. [23]
В общем-то, несмотря на некоторую расплывчатость последней формулировки, можно сказать, что введенное множество трансфинитных чисел второго класса является вполне определенным, но при условии, что мы понимаем постулат актуализации в более расширенном значении: если при образовании натуральных чисел актуализируются ( объединяются в единое целое) единицы или элементы, при образовании трансфинитных чисел второго класса - их последовательности, то теперь речь идет об актуализации самого процесса предшествующей актуализации. Более абстрактным образом - сначала актуализируются множества элементов, а теперь речь идет о множестве множеств элементов. Так что Кантор фактически вступил здесь в область логики третьего порядка, распространив вместе с тем на нее закон исключенного третьего, а тем самым - в соответствии с нашей гипотезой ( см. с. [24]
На описанном фундаменте мы построим теперь ( используя натуральные числа) с помощью принципов главы I некую математическую дисциплину, причем принцип 5 исключим раз и навсегда. Еще одни важный факт состоит в том, что наше поле операций однородно, т.е. что кроме пустого и универсального множеств других одномерных множеств отрезков не существует. Следовательно, один отдельно взятый отрезок невозможно задать чисто понятийным образом absolut in begrifflicher Weise, т.е. каким-то его характеристическим свойством. Под соотношением, или пропорцией, мы понимаем некоторое бинарное отношение отрезков R ( а, Ь), такое, что каждому отрезку а соответствует один и - с точностью до равенства - только один отрезок ft, для которого выполняется это отношение. [25]
Понятно, что все эти термы, кроме 5 ( а) г имеют свои названия, и все эти названия стандартны для любой области математики. Например, аГ Ь обозначает пересечение множеств а и 6, терм Ехр ( а) обозначает множество всех подмножеств множества а и называется экс-понентой или степенным множеством множества а, а терм а, обозначающий одноточечное множество, называется синглетом. Терм S ( d) будет использоваться нами достаточно часто при изложении курса, поэтому мы введем название и для него. [26]
Как стандартные, так и произвольные типы делятся, в свою очередь, на две категории: конкретные и родовые типы. Конкретный тип характеризует определенное множество значений, он не требует дальнейшего уточнения и готов к непосредственному употреблению. Родовой тип характеризует множество множеств значений и требует конкретизации путем подстановки аргументов, переменная такого типа не может быть полностью обработана до завершения конкретизации типа. Примеры конкретных типов: целый, литерный, отрезок от 1 до 10, массив из 100 целых, стек из 100 вещественных. [27]
Вес типы данных можно разделить еще на два класса: конк pemittf и родовые. Конкретный тип характеризует определенное мно / Kt ство значений, он не требует уточнения и готов к непосредственному употреблению. Родовой ( параметризованный) тип характеризует множество множеств значений и требует конкретизации по средстЕЮм заданий аргументов его параметрам. Каждый конкретизированный тип обладает тем же набором операций, что и родовой тип, но они приобретают конкретное содержание. [28]
Что представляют собой, помимо сказанного, кардинальные числа - это, пожалуй, несущественно, но мы все же отметим некоторые интерпретации. Кантор описывает их следующим образом: То общее понятие, которое мы получаем с помощью нашей интеллектуальной активности, когда, отправляясь от множества М, мы абстрагируемся от природы его различных элементов и от порядка, в котором они нам даны, мы называем мощностью или кардинальным числом множествам / И. Фрэге [1884] и Рассел [1902] отождествляют кардинальное число М с множеством множеств, эквивалентных М, тогда как Нейман [1928] выбирает в каждом из этих множеств множеств ( классов эквивалентности) некоторое индивидуальное множество, служащее кардинальным числом любого множества этого класса. [29]
Мы все же сохраняем этот термин потому, что он в смысле множество множеств, выступающее как множество часто употреблялся в рассматриваемый нами период и очень широко применяется до настоящего времени, особенно в неаксиоматизированных исследованиях по теории множеств и ее приложениям. [30]
Страницы: 1 2 3