Cтраница 3
Что представляют собой, помимо сказанного, кардинальные числа - это, пожалуй, несущественно, но мы все же отметим некоторые интерпретации. Кантор описывает их следующим образом: То общее понятие, которое мы получаем с помощью нашей интеллектуальной активности, когда, отправляясь от множества М, мы абстрагируемся от природы его различных элементов и от порядка, в котором они нам даны, мы называем мощностью или кардинальным числом множествам / И. Фрэге [1884] и Рассел [1902] отождествляют кардинальное число М с множеством множеств, эквивалентных М, тогда как Нейман [1928] выбирает в каждом из этих множеств множеств ( классов эквивалентности) некоторое индивидуальное множество, служащее кардинальным числом любого множества этого класса. [31]
Множества, элементы которых суть множества, называются семействами или классами множеств, а их элементы называются членами или элементами семейства; семейства семейств множеств называются системами или совокупностями. В этой книге рассматриваются как индексированные, так и неиндексированные семейства множеств. Индексированное семейство As s & s есть, строго говоря, функция, приписывающая каждому s e 5 множество As, а неиндексированное семейство есть просто некоторое множество множеств. В этом смысле все определенные в тексте для индексированных семейств понятия ( например, локальная конечность или точечная конечность) относятся и к неиндексированным семействам. [32]
В 1917 г. М. Я. С ус лин ( 1894 - 1919) доказал, что класс множеств, могущих быть заданными в форме (), существенно шуре класса борелевых множеств Множества этого нового класса были названы С у с л и н ы м аналитическими, или Л - множествами. Сам Су С лин лишь начал разработку этих множеств. Дальнейшее развитие теории этих множеств связано, главным образов, с именем Н. Н. Лузина, включившего их в теорию более общих проективных множеств. Сюда же относятся работы П. С. Новикова, А. А. Ляпунова и др. Приведем некоторые результаты из этой области. [33]
Наконец, в работе Бурали-Форти [3] имеется еще один интересный момент. Мы уже говорили по поводу одноэлементного множества довольно много ( с. Для строившейся им арифметики Бурали-Форти тоже понадобилось, как и Дедекинду, отождествить одноэлементное множество с его единственным элементом, и он такое отождествление делает, вводя его в определение основного для своей арифметической системы понятия нормального класса, представляющего собой некоторое множество множеств ( с. Так что это требование тоже выступает у него в виде особой аксиомы, но в отличие от предшествующей оно не имело у него столь четкого аксиоматического характера. [34]
Эта система аксиом является чрезвычайно сильной. В частности, постулируется существование бесконечного множества ( аксиома бесконечности), а также существование для любого множества другого множества, которому принадлежат все - подмножества первого множества; таким образом, посредством теоремы Кантора ( теорема С § 5) можно вывести, что существует несчетно-бесконечное множество множеств. [35]
Именно эти модели и легли в основу того определения числа как слова в алфавите, состоящем из букв О и 1, к-рое принято в сов. Прежде всего, поскольку самое понятие множества или объема понятия трудно поддается уточнению. Даже те понятия, объем к-рых заведомо мыслится в виде нек-рого коллектива материальных объектов ( списка его членов), в большинстве случаев не имеют достаточно жесткого объема ( известно, какие трудности приходится преодолевать, напр. А как осуществить практически множество множеств, ранномощных множеству пальцев моей руки. Такие определения сводят абстрактное понятие к абстрактным же понятиям и притом пе более низкого, а более высокого уровня абстрактности и поэтому, хотя и выясняют характерные для этих абстракции связи между ними, по вряд ли осуществляют действительное сведение сложного к простому, абстрактного к его восполнению ( или реализации) в конкретных объектах, с к-рыми можно оперировать па практике и к-рые - в тех случаях, когда абстрактный объект или понятие таким образом реализуется, - допускают проверку с помощью материалистич. [36]
Множество - это собрание правильно идентифицированных объектов, удовлетворяющих условию принадлежности. Множество бывает конечным или бесконечным. Так, первое из приведенных множеств является бесконечным, а второе - конечным. Пустое множество, обозначаемое или 0, всегда является элементом множества множеств. [37]
Исходным пунктом наших рассмотрений был единственный дележ, который первоначально являлся количественным экстрактом из более сложного комбинаторного набора правил. Так как представляется, что эти решения не обязательно будут единственными, полный ответ на любую конкретную задачу будет заключаться не в нахождении решения, а в определении множества всех решений. Таким образом, объект, который мы ищем в любой конкретной задаче, в действительности представляет собой множество множеств дележей. Само по себе это может показаться неестественно усложненным; кроме того, не видно никакой гарантии того, что этот процесс не придется продолжить дальше. По поводу этих сомнений достаточно сказать следующее. Во-первых, математическая структура теории стратегических игр дает формальное обоснование нашей процедуры. Во-вторых, обсуждавшиеся ранее связи с нормами поведения ( соответствующими множествам дележей), а также множественность норм поведения в тех же физических условиях ( что отвечает множествам множеств дележей) делают именно такую степень усложненности желательной. [38]
Исходным пунктом наших рассмотрений был единственный дележ, который первоначально являлся количественным экстрактом из более сложного комбинаторного набора правил. Так как представляется, что эти решения не обязательно будут единственными, полный ответ на любую конкретную задачу будет заключаться не в нахождении решения, а в определении множества всех решений. Таким образом, объект, который мы ищем в любой конкретной задаче, в действительности представляет собой множество множеств дележей. Само по себе это может показаться неестественно усложненным; кроме того, не видно никакой гарантии того, что этот процесс не придется продолжить дальше. По поводу этих сомнений достаточно сказать следующее. Во-первых, математическая структура теории стратегических игр дает формальное обоснование нашей процедуры. Во-вторых, обсуждавшиеся ранее связи с нормами поведения ( соответствующими множествам дележей), а также множественность норм поведения в тех же физических условиях ( что отвечает множествам множеств дележей) делают именно такую степень усложненности желательной. [39]