Cтраница 1
Множество пробных функций ( 15) § 5 обладает тем особым свойством, что оно образует линейное пространство ( подмножество гильбертова пространства), так как произвольная линейная комбинация таких пробных функций снова есть элемент этого множества. Существуют и другие интересные множества пробных функций, образующие линейные пространства. Так, этим свойством обладает множество всех функций с заданной симметрией. [1]
Если множество пробных функций образует линейное пространство, то, как уже говорилось в § 6, г зь обладают теми же свойствами, что и собственные функции. С другой стороны, мы увидим, что в нелинейных случаях при наличии вырождения могут возникать весьма экзотические ситуации. Но рассмотрим сначала невырожденный случай и докажем, что всегда справедливо следующее утверждение. [2]
Рассмотрим множество пробных функций е1 4 % гДе А - произвольное вещественное число. Приведите доводы, показывающие, что А должно равняться нулю. Кроме того, дайте аналогичный вывод равенства ( 2) из § 15, рассматривая множество пробных функций, которое порождается функциями г ( А ( а), ст) путем замены в них а вариационным параметром. [3]
Если множество пробных функций не зависит от v, так что для а v выполняется обобщенная теорема Гельмана - Фейнмана, то всевозможные формулы значительно упрощаются, а кроме того, они могут быть записаны другими интересными способами. Так, из анализа, проведенного в § 15, мы знаем, что при указанных условиях ( dvJ3 / dv) 0 будет иметь вид 8 ij5 при некотором дА, а потому сумма двух первых членов в левой части ( 19) обратится в нуль. [4]
Хотя и множество пробных функций ( 15) § 5, и множество функций в s - волновом пределе каждое образует линейное пространство, первое из них обладает конечной размерностью, а второе бесконечномерно. На практике это различие приводит к важным последствиям. [5]
В противоположность этому инвариантность самого множества пробных функций по отношению к преобразованию U нетривиальна, и она дает нам определенные сведения о его математической и физической полноте. Один из способов ответить па этот вопрос состоит в том. [6]
И снова, при не зависящем от g множестве пробных функций два этих приближения будут совпадать, хотя в других случаях это будет, видимо, не так. [7]
Таким образом, при использовании не зависящего от f множества пробных функций мы заведомо приходим к общеизвестному и весьма физичному результату, гласящему, что взятая с противоположным знаком производная энергии по полю равна среднему электрическому диполь-ному моменту. [8]
Следовательно, при использовании в случае Ни такого же множества пробных функций, как и в случае Н, и при условии его инвариантности по отношению к U унитарная инвариантность ( без всяких ограничений) будет обеспечена. [9]
В таком случае эти теоремы будут удовлетворяться, если множество пробных функций инвариантно по отношению к преобразованию ехр ( га D), a может быть, и по соображениям симметрии. [10]
Следовательно, в данном случае теорема будет выполняться, если множество пробных функций инвариантно по отношению к положительному масштабному преобразованию. Разумеется, это условие всегда гарантирует нам справедливость теоремы для Т независимо от J3 и выбора калибровки. [11]
Кстати, упомянутые условия всегда будут формулироваться в виде требования инвариантности множества пробных функций относительно того или иного преобразования. Однако уже до рассмотрения соответствующих деталей ясно, что если пробные функции имеют фиксированные общие масштабы, то должна быть достаточной инвариантность лишь с точностью до изменений в этих масштабах. Иными словами, при преобразовании один элемент множества переходит в какой-то другой, с возможным умножением последнего на постоянную. Дело в том, как мы это обсуждали в 5 4, что общий масштаб пробных Функций несуществен для окончательных результатов. [12]
Оставляя теории Хартри - Фока, рассмотрим вместо этого случаи, когда множество пробных функций образует линейное пространство. Тогда возможные вариации бфь могут быть произвольными функциями из этого пространства. Отсюда и из теоремы Бриллюэна следует, что ( Н - Eh) tyk ортогонально любой функции из этого пространства. [13]
Соотношение ( 15) допускает дальнейшее упрощение, если принять предположение об инвариантности множества пробных функций по отношению к вращениям, трансляциям и инверсии электронов. В таком случае для справедливости равенств ( 14) это множество совершенно не должно явно зависеть от Ra. [14]
Отсюда следует, что если ( 6) уже не удовлетворяется, то простое расширение множества пробных функций путем умножения их на А работать не будет. [15]