Cтраница 3
Действительно, для любых числовых множеств А, А. [31]
В этом параграфе рассматриваются числовые множества, элементами которых являются действительные числа. [32]
Назовем отрезком числового ряда числовое множество ( одномерное множество натуральных чисел), для которого не существует двух чисел m и п, таких, что тпнп является, а т не является элементом этого множества. В этом смысле пустое и универсальное множества в области натуральных чисел - отрезки. Если А есть отрезок, отличный как от пустого, так и от универсального множества, то существует число п, такое, что А совпадает с множеством всех чисел и. Число 1 есть элемент множества А. Действительно, если m - любой элемент множества Л, то или m 1, или m 1; если бы в последнем случае число 1 не было элементом множества А, то это противоречило бы определению отрезка. Существует некоторое число п, являющееся элементом множества А и та - ко, что непосредственно последующее за ним число этим свойством не1 обладает. [33]
Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань. [34]
Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань. [35]
Отсюда следует, что счетное числовое множество имеет меру нуль; каждое подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль. В частности, мера множества рациональных точек сегмента равна нулю, а мерой дополнения ( множества иррациональных точек этого сегмента) будет длина 6 - а сегмента. [36]
Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань. [37]
Пусть Е - ограниченное сверху непустое числовое множество, Е с R. Обозначим через В множество всех чисел, ограничивающих сверху множество Е, а через А - все остальные действительные числа. [38]
Следуя общему плану расширения числовых множеств, как это уже неоднократно делалось ( например, при введении понятий отрицательных и рациональных чисел), множество действительных чисел можно расширить до множества чисел, которое будет замкнуто относительно операции извлечения корня. [39]
Верхняя и нижняя грани числовых множеств. [40]
Верхняя и нижняя грани числовых множеств и действительных функций; предел, верхний и нижний пределы последовательности действительных чисел или функций. [41]
Выяснить, какие из нижеследующих числовых множеств ограничены сверху, какие ограничены снизу, какие не ограничены. [42]
Взаимосвязь нечетких терминов с числовыми множествами рассматривается в следующем разделе. Здесь мы отметим, что для установления этой связи используются эксперименты, которые заключаются в опросе экспертов. В работе [6] делаются следующие выводы о подобного типа экспериментах: упорядочение слов и словосочетаний зависит как от числа используемых терминов, так и от типа терминов, а также от вида события, с которым испытуемый ( эксперт) сопоставляет данный термин; при построении шкал, которые должны носить универсальный характер, необходимо абстрагироваться от конкретных событий и формализовывать термины для их относительных значений. При этом должно проводиться попарное сопоставление различных терминов и размещение на шкале их числовых оценок. Сопоставление различных терминов и размещение их оценок на шкале определяется личным опытом исследователя и общественным опытом, который приобретается на этапе обучения, из литературных источников, контактов со специалистами. [43]
Если в определении функции заменить числовое множество Е каким-либо пространством, а под у подразумевать элемент того же или некоторого другого пространства, то мы получим определение оператора. Операторы принято обозначать большими латинскими буквами. Остается выяснить, какую пользу можно извлечь из такого представления. [44]
Согласно Посту [17], если числовое множество и его дополнение одновременно рекурсивно перечислимы, то они оба общерекурсивны. Отсюда вытекает, что если простая нумерация одновременно позитивна и негативна, то она разрешима. [45]