Cтраница 2
U Sn)) П U ( b 8) 1 является связным открытым множеством. [16]
x& UE и dimjFl, то область определения любого непродолжимого ( в классе связных открытых множеств) решения определена однозначно. [17]
Пусть А - непустое открытое множество в R; так как R локально связно, то всякая связная компонента множества А есть связное открытое множество ( гл. [18]
В самом деле, так как С К есть открытое множество ( относительно С), то комп0 ( С / С) является связным открытым множеством ( относительно С); следовательно, любые две точки компа ( С / С) можно соединить простой дугой. [19]
Таким образом, теорема 5 о строении открытых множеств на прямой состоит из двух утверждений: а) всякое открытое множество на прямой есть сумма конечного или счетного числа компонент и б) связное открытое множество на прямой есть интервал. Первое из этих утверждений верно и для множеств в n - мерных евклидовых пространствах ( и допускает дальнейшие обобщения), а второе относится именно к прямой. [20]
Двойная кривая ( СО) соответствует уравнениям типа ( 2) ( 2); далее, две части ( АО) и ( ВО) ребра возврата, соответствующие уравнениям 1 ( 3), разбивают правую часть дис-криминантной поверхности на три связных открытых множества, соответствующих тем видам уравнений типа 2 ( 2), о которых говорилось в двух предыдущих примечаниях; часть дискрими-нантной поверхности между линиями ( АО) и ( ВО) соответствует тем уравнениям этого типа, у которых двойной корень лежит между двумя другими. [21]
Открытое множество называется связным, если его нельзя разбить на два открытых множества, не имеющих общих точек. Связное открытое множество называется областью. [22]
Множество D называется связным, если две любые его точки А и В можно соединить непрерывной кривой, полностью расположенной в D. Связное открытое множество D с С называется областью. Область D с присоединенной к ней границей является замкнутой. В дальнейшем будем рассматривать только такие области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых и, возможно, изолированных, точек. [23]
Известно, что открытое множество связно то. Областью называется связное открытое множество. [24]
Это доказательство также может быть сведено к двумерному случаю. В случае прямого пространства это множество состоит из двух раздельных связных, открытых множеств R [ и я таких, что ни одно из них не содержит пары диаметрально противоположных точек и каждое содержит кратчайшую дугу большой окружности, проходящей через две его точки. [25]
Мы пользуемся далее понятием связного и локально связного топологического пространства, понятием связной составляющей ( компоненты) топологического пространства. При рассмотрении локально связных пространств мы обычно понимаем под окрестностью точки Р связное открытое множество ( область), содержащее эту точку. Можно показать, что линейно связное пространство всегда связно, что связное, локально линейно связное пространство всегда линейно связно. [26]
Множество L с: Rn называют ломаной линией, если в Rn существует такая конечная последовательность точек ( xi) 0ip, что L есть объединение замкнутых отрезков Si с концами a. Если любые две точки из А соединимы ломаной линией в Л, то А связно. Показать, что, обратно, если А - связное открытое множество в R 1, то любые две точки из А соединимы ломаной линией в А. Рассмотреть отношение jo и у соединимы ломаной линией в А между точками х, у из А; показать, что это - отношение эквивалентности и классы по нему - открытые множества. Можно даже всегда предполагать, что эта линия есть объединение отрезков, каждый из которых параллелен одной из координатных осей. [27]
Пусть /: ( U, g U) - ( U, g) - локальное b - граничное расширение кривой у. Ввиду того что U открыто в М, множество V является связным открытым множеством, имеющим в М некомпактное замыкание. Его образ / ( V) в силу включения / ( V) с: W имеет в U компактное замыкание. [28]
Точка яо называется внутренней точкой множества, если существует шар f / ( jco e), содержащийся в этом множестве. Множество называется открытым, если все его точки внутренние. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кусочно гладкой кривой, лежащей в этом множестве. Связное открытое множество называется областью. [29]
Точка х0 называется внутренней точкой множества, если существует шар U ( x R), содержащийся в этом множестве. Множество называется открытым, если все его точки внутренние. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кусочно-гладкой кривой, лежащей в этом множестве. Связное открытое множество называется областью. Если множество совпадает со своим замыканием, то оно называется замкнутым. Замкнутое ограниченное множество называется компактом. [30]