Cтраница 1
Направленные множества называются также направлениями, или сетями. Функции, заданные на множестве натуральных чисел, называются, как известно, последовательностями, соответственно этому обобщенными последовательностями называются функции, определенные на произвольных направленных множествах. Их принято иногда обозначать как семейства: a aeA - Элементы ха при этом называются членами данной обобщенной последовательности. Иногда слово обобщенная будем опускать. [1]
Направленное множество X, для которого такие последовательности г существуют, называется секвенцируемым. Функция / на секвенцируемом направленном множестве X называется секвенцируемой направленностью. Числовые и векторные функции на R при направлениях х а х оо х - ос се-квенцируемы. [2]
Образуем направленное множество 23, состоящее из всех окрестностей точки к неравенство У У2 будем истолковывать как включение У. В силу основных топологических аксиом действительно будет направлением. Теперь, выбрав в каждой окрестности V е 23 точку xv V, получим обобщенную последовательность, имеющую элемент х своим пределом. [3]
Рассмотрим направленные множества X, Y и числовую или векторную функцию h на множестве X х Y пар ( х, у ] с первым элементом х Е X и вторым элементом у Е Y. Порядки для множеств X и Y определяют координатный порядок для их декартова произведения X х Y: ( х, у ] ( и, г) означает, что х и и у v для х, и 6 X и г /, v Е У. [4]
Пример направленного множества дает множество N натуральных чисел с естественным порядком. [5]
X - направленное множество, то удобно представлять себе сумму LjX как предел X. I является частным случаем направленного множества. Это единственные функции, которые сохраняют решетки в качестве аппрок-симационных. Предлагаемая идея столь фундаментальна, что я решил сформулировать ее в виде тезиса, подобно тезису Черча. [6]
X - направленное множество, то удобно представлять себе сумму 1 Х как предел X. Предлагаемая идея столь фундаментальна, что я решил сформулировать ее в виде тезиса, подобно тезису Черча. [7]
Подмножество % направленного множества Л называется кофинальным, если для любого К е Л в подмножестве % найдется элемент ц Я. [8]
Подмножество S направленного множества Л называется кофинальным, если для любого Я е Л в подмножестве 2 найдется элемент ц Я. [9]
Функция на направленном множестве N натуральных чисел называется последовательностью. По аналогии функция на направленном множестве X называется направленностью. Выделяются вещественные, числовые и векторные направленности. [10]
Пусть Л - направленное множество, состоящее из целых положительных чисел вместе с их обычным порядком. [11]
Если в качестве направленного множества мы возьмем натуральные числа в естественном порядке, то направленностями будут просто последовательности в X, так что направленность есть обобщение понятия последовательности. [12]
СЕТЬ - отображение направленного множества в ( топологическое) пространство. [13]
Всякая решетка является направленным множеством, по не наоборот. Вмести с тем легко понять, что всякое линейно упорядоченное множество является решеткой. Приведенные в примерах 4.2 и 4.4 множества, как легко проверить, являются решетками. [14]
В тех случаях, когда данное направленное множество А содержится в более широком частично упорядоченном множестве Ж, предполагается обычно, что порядок в А либо совпадает с индуцированным извне, либо противоположен ему. В этих случаях говорят, что А направлено вверх, соответственно вниз. [15]