Cтраница 1
Открытые и замкнутые множества на прямой. Структура открытых и замкнутых множеств в том или ином метрическом пространстве может быть весьма сложной. Это относится к открытым и замкнутым множествам даже евклидова пространства двух или большего числа измерений. Оно дается следующей теоремой. [1]
Между открытыми и замкнутыми множествами существует следующая связь: 1) дополнение к любому открытому множеству есть замкнутое множество; 2) дополнение к любому замкнутому множеству есть открытое множество. Здесь ( и всюду в дальнейшем) имеется в виду дополнение до всего пространства. [2]
Аналогично определяются открытые и замкнутые множества в общем случае. Однако для нас важна связность как наличие общей границы. [3]
Замечание 9.1. Открытые и замкнутые множества в Rn являются измеримыми относительно классической меры Лебега. Для открытых множеств это вытекает из измеримости любого открытого интервала, а также из того, что произвольное открытое множество в Rn можно представить в виде объединения не более чем счетного набора открытых интервалов. Замкнутые же множества измеримы, поскольку измеримы их дополнения. [4]
Связь между открытыми и замкнутыми множествами уста -; навдивается следующей важной теоремой. [5]
Понятие предельной точки открытого и замкнутого множества ( сначала на оси, затем в евклидовом n - мерном пространстве) и теоремы о структуре этих множеств на оси были даны Кантором в 70 - х годах XIX века. [6]
Двойственность между классами открытых и замкнутых множеств описывается следующим образом. [7]
Можно показать, что открытые и замкнутые множества измеримы. Любой ограниченный промежуток ( отрезок, интервал, полуинтервал) является измеримым множеством, причем мера промежутка равна его длине. [8]
В силу взаимной дополнительности открытых и замкнутых множеств теорема 3 равносильна следующей. [9]
Замечание 1.12. Доказанные предложения о структуре открытых и замкнутых множеств на числовой прямой во многих случаях позволяют вместо произвольных открытых множеств ограничиться рассмотрением отдельных интервалов, тем самым существенно облегчив исследование очень многих важных вопросов. [10]
Предложение 11.3. Шары в Qp являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. [11]
Следующие две теоремы показывают, как получать открытые и замкнутые множества из уже имеющихся. [12]
Вороленские множества - множества, полученные на открытых и замкнутых множеств с помощью счетного числи операций объединения и пересечения. [13]
Наконец, установим следующее простое соотношение между открытыми и замкнутыми множествами. [14]
Высказанное вь г4 замечание о топологической независимое ти открытых и замкнутых множеств можно дополнить следующим утверждением. [15]