Cтраница 2
Эта теорема без труда доказывается на основе определения открытых и замкнутых множеств. [16]
На случай комплексных нормированных пространств переносятся понятия сходимости, открытых и замкнутых множеств и другие. [17]
В ряде вопросов теории функций большое значение имеют понятия открытых и замкнутых множеств. Вообще говоря, они никак не связаны с теорией меры. Однако для классической меры Лебега на подмножествах отрезка в Rn такая связь существует. [18]
Замыкание Xf UfX множества UfX в пространстве X является открытым и замкнутым множеством. [19]
Предложение 11.6. Сфера S ( a, г) является одновременно открытым и замкнутым множеством. [20]
Покажите, что если некоторое топологическое свойство & наследственно по отношению к открытым и замкнутым множествам и счетно мультипликативно, то в классе хаусдор-фовых пространств свойство & наследуется 06-множествами. [21]
Наконец, отметим, что пустое множество и все пространство Rn являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. Можно доказать, что в остальных случаях, если множество Л открыто, то уж не замкнуто, а если замкнуто, то не открыто. [22]
Наконец, отметим, что пустое множество и все пространство Rn являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. А открыто, то уж не замкнуто, а если замкнуто, то не открыто. [23]
Поэтому можно расширить класс пространств, для которых имеет смысл говорить об открытых, замкнутых множествах, внутренних точках и точках прикосновения. [24]
В предыдущем параграфе были изложены основные свойства метрических пространств, базирующиеся на понятии открытого и замкнутого множества. Следует подчеркнуть, что фактически все утверждения предыдущего параграфа используют только свойства открытых множеств: объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть множество открытое, все пространство и пустое множество открыты и не используют такие понятия, как шар, расстояние. Вместе с тем, поскольку в струк - iypy метрического пространства введена функция расстояния, эти пространства должны обладать своими, присущими только им свойствами. Более того, чаще всего именно эти свойства и изучаются при рассмотрении метрических пространств. [25]
Используя известные нам свойства открытых множеств в метрическом пространстве (3.22) и указанную только что связь между открытыми и замкнутыми множествами, мы можем утверждать, что объединение конечного числа замкнутых множеств и пересечение любой совокупности замкнутых множеств суть снова замкнутые множества. [26]
ТЕОРЕМА 3.24. Множество Y топологического пространства X связано тогда и только тогда, когда в нем одновременно открытыми и замкнутыми множествами являются только Y и пустое множество. [27]
БОРЕЛЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО, В-множеств о - множество, к-рое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологич. Более точно, б о р е л е в-ским множеством наз. [28]
БОРЕЛЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО, fi - множеств о - множество, которое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологического пространства. Более точно, б о р е л е в с к и м множеством наз. [29]
Аналогично § 1 и § 2 в метрическом пространстве вводятся понятия открытого шара Sr ( xo) х Е X: р ( х, XQ) г, замкнутого шара, открытого и замкнутого множества, фундаментальной и сходящейся последовательности, полного метрического пространства. [30]