Cтраница 3
В заключение пункта введем еще одни важный и интересным класс топологических пространств, определение которого основано на понятии базы, а именно: топологическое пространство называется индуктивно нульмерным, если оно обладает базой, состоящей из одновременно открытых и замкнутых множеств. [31]
По определению каждый элемент семейства Т является дополнением единственного элемента семейства Q и наоборот. Открытые и замкнутые множества обладают следующими свойствами. [32]
Открытые и замкнутые множества образуют важные классы множеств метрического пространства. Связь между ними устанавливает следующая теорема. [33]
Открытые и замкнутые множества на прямой. Структура открытых и замкнутых множеств в том или ином метрическом пространстве может быть весьма сложной. Это относится к открытым и замкнутым множествам даже евклидова пространства двух или большего числа измерений. Оно дается следующей теоремой. [34]
Понятия внутренней точки и точки прикосновения, хотя р них и вкладывается совершенно разный смысл, не являются независимыми. То же справедлиао в отношении открытых и замкнутых множеств, Связь или, лучше сказать двойственность между этими понятиями явно прослеживается в формулировках и доказательствах при веденных в предыдущих разделах утверждений, но ее можно выра зить и вполне определенными соотношениями. [35]
Рассмотрим важнейшие типы множеств в метрическом пространстве, а именно, открытые и замкнутые множества. [36]
Для этих множеств сохраняются основные определения, которые мы ввели в § 5 гл. Для удобства чтения мы повторим здесь определения предельной точки множества, открытого и замкнутого множества. [37]
Согласно этим определениям в случае топологического пространства остаются справедливыми основные утверждения § 2, доказанные там для метрических пространств. Это вполне естественно, поскольку доказательства этих утверждений в основном используют понятие открытого и замкнутого множества и непосредственно не зависят от введенной там метрики. [38]
Однако мы начнем с того, что определим понятие лебеговой меры для открытых и замкнутых множеств, минуя пока определение их внешней и внутренней лебеговой меры. [39]
Во многих утверждениях о метрических пространствах используются только свойства, сформулированные выше. Поэтому можно расширить класс пространств, для которых имеет смысл говорить об открытых, замкнутых множествах, внутренних точках и точках прикосновения. [40]
С помощью результатов § 2 легко проверяется, что гиперплоскость Я, а также отвечающие ей множества (11.3) являются замкнутыми, а множества (11.2) - открытыми. Таким образом, введенные наименования множеств (11.2) и (11.3) не противоречат общему определению открытых и замкнутых множеств. Из сказанного вытекает, в частности, что если гиперплоскость Я выделяет или разделяет какие-то множества, то она также выделяет или разделяет замыкания этих множеств. [41]
В равенстве R Ег - f - Ez Г одно или два слагаемых в правой части могут оказаться пустыми множествами. Надо иметь в виду, что пустое множество и все пространство R являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. [42]
Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число О. Далее, нетрудно показать, на чем мы не останавливаемся, что непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопроса о связи определений меры открытого и замкнутого множества. [43]
Открытые и замкнутые множества на прямой. Структура открытых и замкнутых множеств в том или ином метрическом пространстве может быть весьма сложной. Это относится к открытым и замкнутым множествам даже евклидова пространства двух или большего числа измерений. Оно дается следующей теоремой. [44]
Легко видеть, что так определенная функция интервала т неотрицательна и аддитивна. Класс 31 множеств, измеримых относительно лг, будет, вообще говоря, зависеть от выбора функции F. Однако при любом выборе F открытые и замкнутые множества, а следовательно, и все их счетные суммы и пересечения заведомо будут измеримы. Меры, получаемые с помощью той или иной функции F, называются мерами Лебега - Стилтьеса. В частности, функции F ( t) t отвечает обычная мера Лебега на прямой. [45]