Cтраница 2
В монографии излагаются качественные методы исследования поведения траекторий в окрестности замкнутых инвариантных множеств, обладающих различными устойчивоподобными свойствами. Рассматриваются как локальные, так и глобальные задачи теории динамических систем на метрическом пространстве. [16]
Отметим, что при гомоморфизме динамических систем свойство орбитальной устойчивости замкнутых инвариантных множеств, вообще говоря, не сохраняется. [17]
В этих же статьях [88, 124] исследован ряд специальных свойств топологической устойчивости замкнутых инвариантных множеств. Кроме того, дано более общее определение устойчивости, охватывающее как топологическую, так и метрическую с использованием понятия фильтров окрестностей; приведены утверждения качественного характера, касающиеся определения устойчивости такого рода. [18]
В отличие от этого в работах [88, 124] было предложено определение топологической устойчивости замкнутых инвариантных множеств, которое опирается на понятие окрестности в пространстве X как топологического ( а не метрического) пространства. Здесь введено следующее понятие. [19]
Замечание, Эта теорема показывает, что необходимые и достаточные условия того, чтобы замкнутое инвариантное множество М было раномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим ( см. определение 2 § 10), являются в то же время необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости замкнутого инвариантного множества УИ, имеющего достаточно малую компактную окрестность. [20]
J z имеется содержащее его инвариантное замкнутое множество F, то 12i U F - замкнутое инвариантное множество, содержащееся в малой окрестности множества QI, и Qi JF) Qi. Но хорошо известно, что. [21]
Доказанное утверждение будем считать видоизменением теоремы 7: необходимое и достаточное условие устойчивости по Ляпунову для замкнутого инвариантного множества М, имеющего достаточно малую компактную окрестность, не содержащую целых траекторий, состоит в том, что не су. [22]
На рисунках 1.2 и 1.3 представлены траектории динамических систем на плоскости ( х, х2) с замкнутым инвариантным множеством М ( х, Xi) е Л2, обладающим одним из указанных в определении 1.5 устойчивоподобных свойств. Нетрудно написать соответствующие им системы дифференциальных уравнений. [23]
С, удовлетворяет условию Липшица по первому аргументу с постоянной L и почти-периодично по второму аргументу равномерно относительно первого, имеет замкнутое инвариантное множество rxR и обладает свойством Красовского-в некоторой окрестности этого инвариантного множества. [24]
Система (1.17) определяет в пространстве Еп динамическую систему X X ( s, Х), для которой точка X О является замкнутым инвариантным множеством. [25]
Если, кроме того, р ( / ( р, t), М) - 0 при t - 00, то замкнутое инвариантное множество М называется асимптотически устойчивым. [26]
Теорема 4.1. Для того чтобы динамическая система была неразложимой, необходимо и в случае компактного пространства R достаточно, чтобы всякое непрерывное разложение К в систему замкнутых инвариантных множеств содержало не более одного элемента. [27]
Rn удовлетворяет условию Липшица, называется окрестность Я множества G, граница дН которой состоит из гладких многообразий, трапсверсальных векторному нолю, определенному (4.1.1), и которая не содержит точек других замкнутых инвариантных множеств. [28]
Замечание, Эта теорема показывает, что необходимые и достаточные условия того, чтобы замкнутое инвариантное множество М было раномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим ( см. определение 2 § 10), являются в то же время необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости замкнутого инвариантного множества УИ, имеющего достаточно малую компактную окрестность. [29]
Уравнение (1.2.3) имеет несобственное седло, если существуют последовательности ( хп, tn), т п и тп, такие, что 0т тп, р ( ( л: /) 0) - - 0, р ( Ф ( п Тп л: / и), G) - 0, а Ф ( / т, л: , ) - - - - 5Q или ( f ( tn t n xn, tn) - - оо, если ди пусто, где G и G - замкнутые инвариантные множества в DxR, D компактно. [30]