Cтраница 3
Здесь начало координат М ( О, 0), очевидно, асимптотически устойчиво. Замкнутое инвариантное множество Y ( x y) e 9.2: у 0 является глобально асимптотически устойчивым. [31]
Указанное свойство ( с очевидными изменениями, формулировки) имеет место для всех компактных минимальных множеств потоков и каскадов. Обратно, если оно выполняется для замкнутого инвариантного множества, то последнее минимально. Получаемая таким путем характеризация компактных минимальных множеств посредством свойства равномерной аппроксимации отрезками траекторий принадлежит Дж. [32]
Предельные множества также являются замкнутыми инвариантными; непустое замкнутое инвариантное множество, не имеющее обладающих такими же свойствами подмножеств, называется минимальным. Аттракторы, отличающиеся от конечных сумм гладких многообразий ( в том числе от неподвижных точек и замкнутых траекторий), называются странными. [33]
Так же, как и раньше, предполагаем, что вектор-функция X непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема по х, а сама система (6.1) удовлетворяет основному условию. Предполагаем также, что преобразование Пуанкаре Т имеет ограниченное, замкнутое инвариантное множество / нулевой меры. [34]
Непустое замкнутое инвариантное множество называется минимальным, если оно не содержит истинного подмножества, обладающего этими тремя свойствами. С помощью леммы Цор-на легко доказать, что если замкнутое инвариантное множество компактно, то оно содержит некоторое минимальное множество. [35]
Оператор Т U ( tQ) удовлетворяет условию ограниченности; пусть Nto - замкнутое выпуклое множество его неподвижных точек. Пусть / V - минимальное ( по включению) выпуклое замкнутое инвариантное множество. [36]
Зубовым [20] для динамических систем на метрическом пространстве был введен и использован в исследованиях другой аналог свойства устойчивости но Ляпунову. Автор ставит задачу о качественном поведении траекторий в окрестности замкнутых инвариантных множеств и исследует ее на основе данного им определения. Оно состоит в следующем. [37]
Чтобы доказать достаточность условия теоремы, заметим, что всякое непрерывное отображение компакта R индуцирует непрерывное разложение этого пространства. Если указанное отображение является особым непосредственным X-гомоморфизмом, то элементы непрерывного разложения будут замкнутыми инвариантными множествами. [38]
Рассмотрим действие оператора сдвига г на множестве сверхслов. Инвариантное подмножество - это подмножество множества всех сверхслов, которое инвариантно относительно действия г. Минимальное замкнутое инвариантное множество ( м.з.и.м.) - это замкнутое ( относительно введенной выше метрики) инвариантное подмножество, которое не пусто, не содержит замкнутых инвариантных подмножеств, кроме себя самого и пустого. [39]
В предлагаемой монографии излагаются методы качественной юории динамических систем, определяемых на метрическом пространстве, предназначенные для решения задач устойчивости инвариантных множеств. Начало этому направлению положено А. А. Марковым [ 115J, а также И. И. Зубовым в монографии [ 20J, где даны определения устойчивости замкнутого инвариантного множества по А. М. Ляпунову [50] и сформулированы критерии устойчивости таких множеств для динамических систем на метрическом пространстве. [40]
Аналогично, можно аппроксимировать г / таким отображением г з: M - - N, которое гладко на некоторой окрестности множества L и совпадает с г / на гладком замкнутом инвариантном множестве А [ ] К - Так как / t / на К, то ф гладко всюду и совпадает с ф на А. [41]
Пусть G - компактная группа Ли, гладко действующая на многообразиях М и N, и пусть ср: M - N - эквивариантное ( непрерывное) отображение. Тогда ср м ( жет быть аппроксимировано гладким эквивариантным отображением if: М - - N, которое эквивариантно гомотопно отображению ф посредством гомотопии, аппроксимирующей постоянную гомотопию. Более того, если ф уже гладкое на замкнутом инвариантном множестве A cz M, то отображение if может быть выбрано так, что оно на А совпадает с ф а гомотопия между ф а if там постоянна. [42]
Кроме-того, U ( ф, t) непрерывно по обоим своим аргументам. Таким образом, система (5.1) имеет нулевое решение. Поставим вопрос об устойчивости этого решения. Если сделанные выше предположения относительно системы (5.1) выполнены, то в функциональном пространстве Ф определена динамическая система U ( ф, t), и точка ф 0 является замкнутым инвариантным множеством этой системы. Напомним основные определения, относящие к этому случаю. [43]