Cтраница 1
Частично упорядоченное множество Л называется направленным. Понятие направленности обобщает понятие последовательности. [1]
Частично упорядоченное множество называется локально конечным, если каждый его интервал содержит конечное число элементов. [2]
Частично упорядоченное множество, каждое из линейно упорядоченных подмножеств которого имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент. [3]
Частично упорядоченное множество ( N, ) содержит наименьший элемент 0, а наибольшего элемента не содержит. [4]
Частично упорядоченное множество называется конечно свободным, если все содержащиеся в нем антицепи конечны. [5]
Частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условию минимальности, иногда называют артиновым или фундированным, а удовлетворяющее условию максимальности - нетеровым. [6]
Частично упорядоченное множество, в котором верхний конус любой цепи непуст, иногда называют индуктивным. [7]
Частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условию 2), ю-одно-родно. [8]
Частично упорядоченное множество Р называется деревом, если каждое его двуэлементное ( а значит, и любое конечное) подмножество имеет точную нижнюю грань и для любого а е Р нижний конус av является цепью. [9]
Частично упорядоченное множество называется полной решеткой или полной структурой, если всякое его подмножество ( в том числе пустое) имеет точную нижнюю и точную верхнюю грани. Впрочем, приведенное определение оказывается избыточным, так как справедлива теорема: если всякое подмножество частично упорядоченного множества Р ( включая пустое) имеет точную нижнюю [ верхнюю ] грань, то Р - полная решетка. [10]
Частично упорядоченное множество А называется направленным, если каждое конечное его подмножество имеет верхнюю границу. [11]
Частично упорядоченное множество называется полной структурой, если всякое его подмножество ( в том числе пустое) имеет точную нижнюю и точную верхнюю грани. [12]
Частично упорядоченное множество называется структурой ( или решеткой), если каждое его двухэлементное подмножество обладает как точной верхней, так и точной нижней гранью. Разумеется, каждая полная структура является структурой. Структурой оказывается и каждая цепь. В частности, целые числа с обычным порядком образуют структуру, не являющуюся полной структурой. Приводимая ниже теорема 1 показывает, что на структуру можно смотреть как на универсальную алгебру с двумя бинарными операциями. Более того, структуры образуют многообразие в классе таких алгебр. [13]
Частично упорядоченные множества Р и Р называются двойственными друг другу. [14]
Частично упорядоченное множество Р называется цепью, если любые два элемента из Р сравнимы. [15]