Cтраница 2
Частично упорядоченное множество называется полной структурой, если всякое его непустое подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грань. Полными структурами являются отрезок 0 1 ] с обычным порядком, множество всех подмножеств некоторого множества, упорядоченное по включению, цепкая конечная цепь. Ясно, что любая полная структу-рн должна иметь нуль и единицу. Поэтому, например, множество всех целых чисел с обычной упорядоченностью полной структурой не является. [16]
Частично упорядоченное множество называете структурой, если всякое его двухэлементное подмнож ство имеет как точную верхнюю, так и точную нижню грань. Из теоремы 1.4 нетрудно вывести; что в структур обе эти грани существуют для любого конечного подмн жества. Полная структура, очевидно, является структ ] рой. Структурой оказывается также всякая цепь. Обьп ным образом упорядоченное множество целых чисел д ставляет пример структуры, не являющейся полно. [17]
Частично упорядоченное множество Х, О называется вполне упорядоченным, если каждое непустое подмножество множества X имеет наименьший элемент. Хорошо знакомым всем примером вполне упорядоченного множества является множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченное естественным образом. [18]
Частично упорядоченное множество называют самодвойственным, если оно изоморфно двойственному к нему множеству. [19]
Частично упорядоченное множество, каждое из линейно упорядоченных подмножеств которого имеет верхнюю границу, содержит максимальный элемент. [20]
Частично упорядоченное множество из двух злементое. [21]
Частично упорядоченное множество Р называется локально конечным, если число элементов в каждом интервале [ х, у ] конечно. [22]
Частично упорядоченное множество называется полным ( полной структурой), если в нем выполяется условие 3) и если каждое непустое его подмножество имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы. Частично упорядоченное множество называется условно полным, если в нем выполняется условие 3) и если каждое непустое его подмножество, имеющее верхнюю границу ( ограниченное сверху), имеет к точную верхнюю границу. Последнее условие выполняется в том и только в том случае, если каждое непустое его подмножество, имеющее нижнюю границу ( ограниченное снизу), имеет и точную нижнюю границу. [23]
Частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям 1 - 5, называется проективным пространством. [24]
Частично упорядоченное множество, являющееся одновременно верхней и нижней полуструктурой, называется структурой. Однако эти действия связаны друг с другом, так как отношение а Ь в структуре можно записать в любой из форм а Ь Ь, аЪ а. Иначе говоря, в структурах равенства а - гЬ - ЬиаЪ а должны быть равносильными. [25]
Частично упорядоченное множество, для любых двух точек а, Ь которого найдется следующая за ними точка с ( ас, Ьс), называется направленным. [26]
Частично упорядоченное множество называется полным ( полной структурой), если в нем выполняется условие 3) и если каждое непустое его подмножество имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы. Частично упорядоченное множество называется условно полным, если в нем выполняется условие 3) и если каждое непустое его подмножество, имеющее верхнюю границу ( ограниченное сверху), имеет и точную верхнюю границу. Последнее условие выполняется в том и только в том случае, если каждое непустое его подмножество, имеющее нижнюю границу ( ограниченное снизу), имеет и точную нижнюю границу. [27]
Частично упорядоченное множество всех его хаусдорфовых бикомпактных расширений является полной решеткой. X его нарост ЬХ Х во всяком хаусдорфовом бикомпактном расширении ЬХ бикомпактен. [28]
Частично упорядоченное множество ( N, ) содержит наименьший элемент 0, а наибольшего элемента не содержит. [29]
Частично упорядоченное множество Р называется градуированным, если задано отображение h множества Р в множество целых чисел с обычным порядком, обладающее следующими свойствами: 1) если к, у Р и х с у, то h ( х) h ( у); 2) если к покрывает у, то / г ( ж) h ( y) 1 - Всякое такое множество удовлетворяет условию Жордана-Дедекинда: все композиционные ряды любого замкнутого интервала имеют одну и ту же длину. [30]