Cтраница 3
Как будет показано ниже в этом параграфе, некоторые основные принципы теории игр могут быть сформулированы в терминах компактных выпуклых множеств и выпуклых конусов в вещественных локально выпуклых пространствах. Основополагающий принцип теории игр в случае конечных дискретных игр, соответствующем конечномерному векторному пространству, может быть сформулирован следующим образом. [31]
Включение ( 437), игравшее в доказательстве последней теоремы центральную роль, дает повод к рассмотрению специальных типов однопарамстрических семейств компактных выпуклых множеств, которые соответственно называют выпуклыми, вогнутыми и линейными семействами. [32]
Пусть К - любое компактное выпуклое тело в R с V ( K) Vo, а Уп ( К) - класс всех компактных выпуклых множеств, получаемых из К конечными цепочками последовательных штейнеровских симметризации относительно проходящих через начало о е R гиперплоскостей. [33]
Через опорную функцию можно наиболее просто аналитически задавать не только отдельное компактное выпуклое множество, но и выпуклую оболочку и линейную комбинацию конечного числа компактных выпуклых множеств. [34]
Следствие теоремы 4.2. Каждое непустое компактное выпуклое множество А с Ап содержит хотя бы одну экстремальную точку. [35]
Так как функция т - ( e - TA / i) 1 непрерывна, то она принадлежит пространству L [ o t ], и, следовательно, отображение U - - является непрерывным отображением из пространства L [ S, п снабженного слабой топологией, в Я. Тогда множество Mt является непрерывным образом компактного выпуклого множества. [36]
KcG существует такое борелевское множество UdG, что 0ji ( E /) oo и fi - 1 ( 7) и ( а. К; 12) любое непрерывное действие группы G на компактном выпуклом множестве в локально выпуклом пространстве непрерывными аффинными преобразованиями имеет неподвижную точку. Локально компактная группа, удовлетворяющая любому из равносильных условий 1) - 12), наз. Непрерывные образы аменабель-ных групп, замкнутые подгруппы аменабельных групп, расширения аменабельных групп с помощью аменабельных, индуктивные пределы аменабельных групп - аменабельны. [37]
Тот факт, что компактное выпуклое множество совпадает с выпуклой оболочкой своих крайних точек ( следствие 18.5.1), был впервые доказан Минковским. Более известно, однако, его бесконечномерное обобщение, данное Крейном и Мильманом 111: компактное выпуклое множество в локально выпуклом хаусдорфовом линейном пространстве совпадает с выпуклым замыканием своих крайних точек. [38]
Приведенное следствие из теоремы 21.8 интересно и само по себе. Оно является своего рода предельным случаем для теоремы Буземана [16]) об объемах линейного семейства компактных выпуклых множеств в полупучке. [39]
Симметризуем семейство / ( ( т) т е [ a i относительно гиперплоскости А. Получим по теореме 18.4 снова вогнутое семейство SA ( К ( т) те [ а ш непустых компактных выпуклых множеств. [40]
Сюда же относятся принципы, связанные с полнотой пространства: теорема о неподвижной точке сжимающего отображения, теорема Бэра о категории, теорема Тихонова о неподвижной точке непрерывного отображения компактного выпуклого множества в себя. [41]
В ( /), замкнутое в - слабой топологии и тем самым компактное в этой топологии. Пуоть К есть подмножество для X, состоящее из тех функционалов ФеХ, сужение которых к подалгебре Jj совпадает с функционалом Fy. Так как Xfl замкнуто в X, Х - есть компактное выпуклое множество. [42]
Пусть X - вещественное отделимое локально выпуклое пространство и Q - выпуклое множество в X. Точка х е Q называется крайней ( или экстремальной) для Q, если из равенства х ау ( 1 - а) г для некоторого а, удовлетворяющего неравенству О - a l, и некоторых у, z Q следует, что х совпадает с у или с г. Другими словами, х - концевая точка любого отрезка, ее содержащего и целиком лежащего в Q. Теорема Крейна - Мильмана ( теорема 10.1.2) утверждает, что компактное выпуклое множество Q является замкнутой выпуклой оболочкой множества своих крайних точек. [43]
Важную роль играет непрерывная зависимость вводимых численных характеристик от выпуклых множеств. Для этого снабдим класс УСп непустых компактных выпуклых множеств в Rn подходящей топологией. Она вводится с помощью метрики. [44]
Всякая опорная гиперплоскость содержит х0, которая является крайней. Предположим, что для dim ( Л) р теорема верна. Тогда можно утверждать ( по теореме 16), что всякое компактное выпуклое множество размерности р обладает крайними точками. [45]